Aufgabe 64 (gestellt in Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 71-72 kursiv). Lösung von C. Voigt. (Q575683)

Die Aufgabe lautet: \textit{Die Bestimmung der Fundamentalgruppe einer Mannigfaltigkeit}. Aus dem Schema einer etwa dreidimensionalen Mannigfaltigkeit, das aus den dreidimensionalen Zellen \(Z_1, \dots, Z_l\), den Flächenstücken \(F_1, \dots, F_m\) und den Kanten \(K_1, \dots, K_n\) besteht, kann man bekanntlich (vgl. \textit{H. Tietze}, 1908; F. d. M. 39, 171 (JFM 39.0171.*)-174) in folgender Weise die Fundamentalgruppe der Mannigfaltigkeit bestimmen: Man wählt im Innern jeder Zelle \(Z_\varrho\) einen Punkt \(P_\varrho\) (\(\varrho = 1, \dots, l\)), legt durch jedes Flächenstück \(F_\sigma\), das der Berandung der beiden Zellen \(Z_\alpha\), \(Z_\beta\) angehört, ein orientiertes fundamentales Wegstück \(S_\sigma\), das von \(P_\alpha\) nach \(P_\beta\) (oder von \(P_\beta\) nach \(P_\alpha\)) führt, und ordnet den Kanten \(K_\varrho\) je eine der Relationen \[ R_\varrho = R_\varrho (S_1, \dots, S_m) = 1 \qquad (\varrho = 1, \dots, n) \] zu, wo \(R_\varrho(S_1, \dots, S_m)\) einem geschlossenen Wege aus fundamentalen Wegstücken entspreche, der \(K_\varrho\) einmal umschlingt. Alsdann wählt man einen der Punkte \(P_\varrho\), etwa \(P_1\) als Grundpunkt, verbindet \(P_1\) mit jedem der übrigen Punkte \(P_\varrho\) durch je einen Hilfsweg \(H_\varrho\) aus fundamentalen Wegstücken und nimmt nun geeignete Produkte \[ s_\varrho = H_{\alpha_\varrho} S_\varrho H_{\beta_\varrho}^{-1} \qquad (\varrho = 1, \dots, m) \tag{1} \] als Erzeugende der Fundamentalgruppe -- geeignet, d. h. \(s_\varrho\) beginne in \(P_{\alpha_\varrho}\) und endige in \(P_{\beta_\varrho}\). Die definierenden Relationen der Gruppe zerfallen in zwei Klassen: Die der ersten Klasse findet man, indem man in den \(R_\varrho\) die \(S_\sigma\) durch \(s_\sigma\) ersetzt; die der zweiten Klasse sind erklärt als alle diejenigen Produkte aus den \(s_\varrho\), welche in Identitäten übergehen, wenn die \(s_\varrho\) nach (1) durch die \(S_\sigma\) ausgedrückt werden. Man stelle die Relationen der zweiten Klasse, in Anlehnung an das Verfahren, Untergruppen von unendlichen diskreten Gruppen zu bestimmen (vgl. Verf., Abhandlungen Hamburg 5 (1926), 7-23; \textit{O. Schreier}, Abhandlungen Hamburg 5 (1927), 161-183; F. d. M. 52, 578 (JFM 52.0578.*)-579; 53, 110), auf und zeige weiter: Bei geeigneter Wahl der Hilfswege besagen die Relationen der zweiten Klasse, daß gewisse der Erzeugenden \(s_\varrho\), die anzugeben sind, gleich l werden.