Elementargeometrie. Teil 3: Der Stoff der Obersekunda und Prima (Darstellende Geometrie, Trigonometrie und Analytische Geometrie). (Q575777)

Der vorliegende dritte Teil bringt die dreiteilige Elementargeometrie des Verf. zum Abschluß (Teil l und 2 sind 1928 erschienen: F. d. M. 54; 2, 647) und stellt den Lehrstoff der Oberstufe (Obersekunda und Prima) dar, aber nicht mehr, wie in Teil 2, nach Klassenstufen, sondern nach Sachgebieten geordnet. Der Stoff wird hier nicht nur in derjenigen Darstellung gegeben, die Verf. dem Lehrer unmittelbar für den Vortrag im Schulunterricht vorschlägt. Vielmehr wird jedes Stoffgebiet durch Abschnitte eingeleitet, die nicht nach didaktischen, sondern nach sachlichmathematischen Gesichtspunkten abgefaßt worden sind. Diese Abschnitte stellen eine sehr erwünschte Ergänzung des Werkes dar. Der Inhalt gliedert sich nach den vier in der Oberstufe vorzutragenden Sachgebieten in vier Bücher: Darstellende Geometrie der geometrischen Grundgebilde, die ebene und sphärische Trigonometrie, die analytische Geometrie der geometrischen Grundgebilde, die analytische und darstellende Geometrie der Kegelschnitte. An die Spitze des ersten Buches (Kap. I: Die geometrischen Grundgebilde und ihre Beziehungen) hat Verf., der den Teil 2 seiner Elementargeometrie mit den graphischen Axiomen von \textit{Pasch} eingeleitet hatte, die \textit{Hilbert}schen Axiome der Verknüpfung und Anordnung gestellt; im Anschluß daran führt er die uneigentlichen Elemente des Raumes ein. Die Bedeutung des euklidischen Parallelenaxioms für diese Einführung hätte vielleicht etwas mehr betont werden können. Von da gelangt Verf. zu den Axiomen der Inzidenz, der Anordnung und der Stetigkeit der projektiven Geometrie und zum Dualitätsprinzip. Im ``Axiom der Parallelgeometrie'' führt Verf. dann eine ausgezeichnete, die \textit{uneigentliche}, Ebene, im ``Axiom der Orthogonalgeometrie'' in der uneigentlichen Ebene eine \textit{orthogonale Paarung} ein: ``Jedem uneigentlichen Punkt entspricht eine uneigentliche Gerade wechselseitig, d. h. entspricht dem Punkt \(P\) die Gerade \(g\), so entspricht der Geraden \(g\) umgekehrt der Punkt \(P\); ist ein uneigentlicher Punkt mit einer uneigentlichen Geraden inzident, so sind es auch die ihnen entsprechenden Elemente; kein uneigentliches Element ist mit seinem entsprechenden inzident. \textit{Orthogonal} heißen zwei entsprechende uneigentliche Elemente \(\cdots\).'' Projektive und Parallelgeometrie zusammen ergeben die affine, affine und Orthogonalgeometrie zusammen ergeben die äquiforme oder Ähnlichkeitsgeometrie. Durch dieses einleitende Kapitel wird für die folgenden Betrachtungen der Grund gelegt und eine Gliederung im Sinne des Erlanger Programms vorbereitet. In Kap. II (Die Methoden der darstellenden Geometrie) wendet sich Verf. nun dem eigentlichen Gegenstande des ersten Buches zu. Er gibt einen kurzen geschichtlichen Abriß und dann einen Überblick über die Abbildungsverfahren der darstellenden Geometrie. Anschließende Bemerkungen zur Didaktik leiten zu dem eigentlichen Lehrgang (Kap. III) über. Hier werden in vier Unterabschnitten die senkrechte Projektion auf eine Projektionsebene, das Grund- und Aufrißverfahren, die rechtwinklige Axonometrie und die Zentralprojektion behandelt. Das zweite, der Trigonometrie gewidmete Buch fällt naturgemäß etwas aus dem systematischen Gang der Darstellung heraus; doch bietet -- nach den einleitenden Kap. I (Die Vorschule der Trigonometrie) und Kap. II (Die ebene Trigonometrie) -- in Kap. III (Die sphärische Trigonometrie) der erste Unterabschnitt über die Geometrie auf der Kugel Gelegenheit zu grundsätzlichen Bemerkungen. In den weiteren Unterabschnitten wird die Darstellung der sphärischen Trigonometrie abgeschlossen: Das rechtwinklige sphärische Dreieck, die Begründung der sphärischen Trigonometrie des allgemeinen Dreiecks, das Formelsystem der sphärischen Trigonometrie. Im dritten Buch beginnt die Darstellung mit der Begründung der analytischen Geometrie (Kap. I), und zwar mit der Begründung mit Hilfe der projektiven Geometrie. Dazu geht Verf. in bekannter Weise vom \textit{Desargues}schen Satz und dem harmonischen Wurf aus und erklärt mit Hilfe der ``projektiven Schiebung'' nach \textit{F. Schur} (Grundlagen der Geometrie, 1909; F. d. M. 40, 517 (JFM 40.0517.*)) auf einer Geraden die projektive Gleichheit zweier Strecken in bezug auf einen ausgezeichneten Punkt \(U\) von \(g\) sowie einen projektiven Maßstab. So gelangt Verf. zum Begriff des Doppelverhältnisses und zur projektiven Koordinate. Nun können die projektive, affine und äquiforme Gruppe erklärt und der weitere Aufbau bis zur elementaren analytischen Ähnlichkeitsgeometrie durchgeführt werden. Dabei verzichtet Verf., da es ihm in diesem Kapitel nur auf die Darstellung des logischen Gefüges ankommt, vielfach darauf, alles bis in die letzten Einzelheiten durchzuführen: er verweist auf andere Bücher, z. B. auf das von \textit{Heffter} und \textit{Koehler} (2. Auflage 1927; F. d. M. 53, 593 (JFM 53.0593.*)-594). Der Lehrgang der analytischen Geometrie der Ebene (Gerade, Kreis) und des Raumes (Punkt, Ebene, Gerade) wird in Kap. II gegeben. Im vierten Buch wird nach kurzen einleitenden Bemerkungen (Abschnitt 1) nur der Lehrgang gegeben: Die allgemeine Gleichung zweiten Grades zwischen rechtwinkligen Koordinaten \(x\), \(y\) und die elementaren metrischen Eigenschaften der Kegelschnitte (Abschnitt 2), Kollineationen (Abschnitt 3), die darstellende Geometrie des Kreiszylinders, des Kreiskegels und der Kugel (Abschnitt 4). Die Darstellung enttäuscht etwas in sachlicher Hinsicht und hält nicht die Höhe inne, die Verf. im ersten und dritten Buch gewonnen hat. Da die projektiven Eigenschaften der Kurven zweiter Ordnung nicht besprochen werden, fehlt für die Behandlung der Kegelschnitte, wie sie hier gegeben wird, der einheitliche Gesichtspunkt. Ein fünftes Buch gibt einen sehr ausführlichen Überblick über das elementargeometrische Schrifttum, und zwar sowohl von der wissenschaftlichen als auch von der didaktischen Seite her. \ \ (V 5 A, B.) Besprechungen: v. d. W.; Nieuw Archief (2) 17 (1932), 201-202. F. W. Palm; Monatshefte f. Math. 39 (1932), 23-24 kursiv. F. Pfersdorff: Aus Unterricht und Forschung 3 (1931), 288.