Darstellende Geometrie im Kugelgebüsch. (Q575971)

Die nichteuklidischen Geometrien des Raumes können nach Einführung einer entsprechenden Metrik in einem Kugelgebüsch versinnlicht werden (\textit{J. Wettstein}). Dieser Gedanke wird zu einer konstruktiv durchgebildeten \textit{darstellenden Geometrie nichteuklidischer Räume} ausgestaltet. Dabei werden der hyperbolische und elliptische Fall getrennt behandelt und die entsprechenden Grundkonstruktionen für die Ebene jedesmal vorangestellt. Im \textit{hyperbolischen} Raum wird eine \textit{Abbildung} eingeführt, welche dem Grundund Aufrißverfahren nachgebildet ist. Als Bildebenen \(\varPi _{1,2}\) werden zwei zu einander senkrechte Durchmesserebenen der Grundkugel \(u\) des Kugelgebüsches gewählt, die sich in der \(x\)-Achse schneiden. Auf \(\varPi _{1,2}\) werden die \(h\)-Punkte durch \(h\)-Geraden normal projiziert. Nach der Umklappung von \(\varPi _1\) in \(\varPi _2\) liegen die Bilder der \(h\)-Punkte auf \textit{Ordnern}, den \(h\)-Geraden senkrecht zur \(x\)-Achse; euklidisch gesprochen also auf Kreisen eines hyperbolischen Büschels. Es ergibt sich, daß die \(h\)-\textit{Drehkegel} mit eigentlicher bzw. uneigentlicher \(h\)-Spitze \textit{Spindel}- und \textit{Horn}- bzw. \textit{Ringzykliden} sind. Die \textit{Clifford}schen Flächen einer \(h\)-Geraden sind \textit{Spindel}und \textit{Hornzykliden} mit Knoten in den unendlich fernen Punkten der Geraden. Die Konstruktionen lassen sich vereinfachen, wenn man die Grundkugel in eine \textit{Ebene} \(u\) ausarten läßt und \(\varPi _{1,2}\) senkrecht \(u\) wählt. Die \(h\)-Rißbildungen werden dann euklidische \textit{Zirkularprojektionen}. So werden Aufgaben über Geraden und Ebenen einschließlich der Normalität konstruktiv durchgeführt. Analog wird im \textit{elliptischen} Fall vorgegangen. Die \textit{Ordner} sind hier euklidische Kreise eines elliptischen Büschels. Die \textit{Clifford}schen Flächen eines Paars absoluter Polaren \(g\), \(g^0\) sind Ringzykliden mit den Achsen \(g\), \(g^0\). Die \textit{Clifford}schen \textit{Parallelen} von \(g\), \(g^0\) sind die \textit{Loxodromenkreise} dieser Zykliden. Eine Vereinfachung der Konstruktionen wird hier dadurch erreicht, daß man den \(e\)-Aufriß auf \(\varPi _2\) durch eine Projektion aus dem Mittelpunkt der nullteiligen Grundkugel auf deren reellen Vertreter \(u^r\) ersetzt. Die \(e\)-Umklappung von \(u^r\) in \(\varPi _1\), ist dann euklidisch eine \textit{stereographische} Projektion von \(u^r\) auf \(\varPi _1\). Auch hier werden Lagen- und Maßaufgaben über Geraden und Ebenen konstruktiv durchgeführt. (V 1.)