Zur Abbildung des Punkt- und Ebenenraumes auf die Kinematik der hyperbolischen und elliptischen Ebene. (Q575972)

Die von \textit{W. Blaschke} und \textit{J. Grünwald} eingeführte sogenannte \textit{kinematische Abbildung} wird nach einem von \textit{L. Eckhart} für den hyperbolischen Fall analytisch skizzierten Verfahren \textit{projektiv verallgemeinert}. Es wird nämlich die Kinematik einer beliebigen nichteuklidischen Geometrie der Ebene konstruktiv auf den dreidimensionalen projektiven Punkt- und Ebenenraum übertragen. Eine eigentliche Fläche zweiten Grades wird als ``Kernfläche'' \(\boldsymbol\varPhi \), eine \(\boldsymbol\varPhi \) nicht berührende Ebene \(\pi \) als Bildebene zugrunde gelegt. Alle Strahlen des Raumes, welche zwei Strahlen der einen Erzeugendenschar \((S)\) von \(\boldsymbol\varPhi \) schneiden, bilden eine ``\(S\)-Kongruenz''. Einem Strahl \(G\) des Raumes wird als ``Riß'' \(G'\) der in \(\pi \) liegende Strahl jener \(S\)-Kongruenz zugewiesen, welcher \(G\) angehört. Diese Abbildung \(G\to G'\) ist in gewissem Sinne linear und projektiv und als \textit{lineare} Abbildung der Flächenelemente des Raumes auffaßbar. Wenn nur ``reelle Risse'' des Raumes in Betracht gezogen werden sollen, sind ovale Kernflächen auszuscheiden. \textit{Ringförmige} führen zu \textit{hyperbolischen, nullteilige} zu \textit{elliptischen} Rissen. In Verallgemeinerung der üblichen linearen darstellenden Geometrie werden die Strahlen des Raumes durch zwei derartige Rißbildungen auf die orientierten Geradenpaare von \(\pi \) abgebildet. Insbesondere wird der Fall ``konjugierter Risse'' behandelt, bei welchem die beiden projezierenden Regelscharen mit den Erzeugendenscharen einer einzigen Kernfläche \(\boldsymbol\varPhi \) identisch sind. Die Risse der Strahlen eines ebenen Feldes lassen sich mittels zweier \textit{Netzprojektionen} bestimmen. Zwei bezüglich \(\boldsymbol\varPhi \) polare Strahlenmannigfaltigkeiten haben denselben ersten und denselben zweiten Riß. Das Koinzidenzgebilde der Abbildung besteht aus dem Strahlenfeld \(\pi \), dem dazu \(\boldsymbol\varPhi \)-polaren Strahlenbündel \(p\) und dem ``\(\pi \)-Gürtel'', d. s. die \(\boldsymbol\varPhi \)-Tangenten in den Punkten der ``Kernkurve'' \(\varDelta =\boldsymbol\varPhi \times \pi \). Der Ebenen- (und Punkt-)Raum erscheint umkehrbar eindeutig auf die Gruppe der automorphen Kollineationen von \(\varDelta \) (\(\varDelta \)-Kollineationen) abgebildet. Den Ebenen (und Punkten) von \(\boldsymbol\varPhi \) entsprechen dabei die zweifach ausgearteten unter diesen Kollineationen. Wird in \(\pi \) eine \textit{nichteuklidische Geometrie} mit \(\varDelta \) als absolutem Gebilde festgelegt, so sind die \(\varDelta \)-Kollineationen die \textit{starren} Transformationen (\textit{Bewegungen} und \textit{Umlegungen}) dieser Geometrie. (V 1.)