Cremona transformations in four dimensions. (Q576008)

Verf. betrachtet Transformationen der Art \ \ \noindent \(\begin{matrix}\l&\qquad\qquad\l\\ &x_0' : x_1' : x_2' : x_3' : x_4' = \boldsymbol\varPhi _0 : \boldsymbol\varPhi _1 : \boldsymbol\varPhi _2 : \boldsymbol\varPhi _3 : \boldsymbol\varPhi _4 \\ bzw. &x_0 : x_1 : x_2 : x_3 : x_4 = \boldsymbol\varPhi _0' : \boldsymbol\varPhi _1' : \boldsymbol\varPhi _2' : \boldsymbol\varPhi _3' : \boldsymbol\varPhi _4', \end{matrix} \) \ \ \noindent wobei unter \(\boldsymbol\varPhi _0, \boldsymbol\varPhi _1, \boldsymbol\varPhi _2, \boldsymbol\varPhi _3, \boldsymbol\varPhi _4\) homogene Polynome in \(x\) vom Grade \(n\) und unter \(\boldsymbol\varPhi _0', \boldsymbol\varPhi _1', \boldsymbol\varPhi _2', \boldsymbol\varPhi _3', \boldsymbol\varPhi _4'\) homogene Polynome in \(x'\) vom Grade \(n'\) (im allgemeinen \(n'\neq n\)) verstanden werden. Für die Klassifizierung derartiger Transformationen sind die aus der allgemeinen Theorie der \textit{Cremona}-Transformationen bekannten `Fundamentalelemente'' von Bedeutung (\(F\)-Elemente). Als solche kommen hier in Betracht: Punkte Kurven und Flächen. Sind die Bedingungen einer ``(1, 1)-Transformation'' gewahrt, so spricht Verf. von ``Homaloidal systems'' (\(H\)-Systeme). Je nach der Art und Dimensionszahl der Bilder der \(F\)-Elemente im vierdimensionalen Bildraum \(S_4'\) unterscheidet Verf. drei Arten von \(H\)-Systemen. Die kubische \textit{Cremona}-Transformation \[ \begin{matrix}\r&\;\l\\ x' : y' : z' : t' : u' &= xt^2 : yz^2 : zt^2 : tz^2 : ztu, \\ x : y : z : t : u &= x't^{'2} : y'z^{'2} : z't{'2} : t'z{'2} : z't'u', \end{matrix} \] liefert ein Beispiel für \(F\)-Flächen dritter Art, die biquadratische \textit{Cremona}-Transformation \[ x' : y' : z' : t' : u' = uxt^2 : uyz^2 : uzt^2 : uz^2t : z^2t^2, \] ein solches für \(F\)-Kurven und \(F\)-Flächen zweiter Art.