Die Polarität als Grundlage in der Geometrie der linearen Strahlenkongruenz. (Q576034)

Mit der vollständigen Entwicklung der Polarentheorie der Kurven und Flächen zweiter Ordnung und der allgemeinen Durchführung des Dualitätsprinzips haben \textit{Poncelet} und \textit{Gergonne} einen außerordentlichen Aufschwung der projektiven Geometrie eingeleitet. Später hat \textit{Plücker} die analytische Behandlung des Dualitätsgesetzes und der Polarentheorie ermöglicht. Mit Rücksicht auf den hohen Stand der modernen analytischen Methoden erscheint es fast erstaunlich, daß die Polarentheorie in den entsprechenden Gebilden der Strahlengeometrie -- der linearen Kongruenz und dem linearen Komplex -- bisher nicht behandelt worden ist. In der vorliegenden Abhandlung wird nun die Polarentheorie der linearen Kongruenz auf synthetischem Wege entwickelt. Dabei nimmt die Polarität zwei verschiedene Formen an, die in bemerkenswerter Weise nebeneinander stehen, je nachdem als Element in der Kongruenz die Regelschar zweiter Ordnung oder der lineare Komplex den Ausgangspunkt bildet, je nachdem also das ``polare \(R^2\)-Gebüsch'' oder das ``polare \(\varGamma \)-Gebüsch'' der linearen Kongruenz betrachtet wird. Die analytische Formulierung der hier synthetisch gewonnenen Resultate bereitet keine größeren Schwierigkeiten. Von Wichtigkeit ist, daß die Fokaltheorie der Kongruenz sich jetzt der Polarentheorie in ganz ähnlicher Weise einordnet, wie die fokalen Eigenschaften der Kegelschnitte in deren Polarentheorie enthalten sind. Diese Entwicklung läßt im voraus erkennen, daß die (zum großen Teil noch unbekannten) metrischen Eigenschaften der linearen Kongruenz aus deren Polarentheorie sich organisch entwickeln. Damit wird für die Theorie der linearen Kongruenz das grundlegende Kapitel entstehen, dem vergleichsweise in der Theorie der Kegelschnitte das Hauptachsenproblem entspricht.