Om plane Kollineationer med tre sammenfaldende Dobbeltpunkter. (Q576043)

Eine ebene Kollineation, die keine Homologie ist, hat im allgemeinen drei getrennte Doppelpunkte und drei getrennte Doppelgeraden; Verf. betrachtet den Fall, daß die drei Doppelpunkte in einem Punkte F und dualistisch die drei Doppelgeraden in eine Gerade \(f\) durch \(F\) zusammenfallen. Die Kollineation transformiert die Punkte von \(f\) sowie auch die Geraden durch \(F\) durch eine parabolische Projektivität; \(F\) und \(f\) sind bzw. fester Punkt und feste Gerade; außerdem gibt es \(\infty ^1\) invariante Kegelschnitte durch das ``Berührungselement'' \((F,f)\). Im allgemeinen bestimmt man bekanntlich die Doppelpunkte so: Wird \(A\) durch die Kollineation in \(A'\) und \(A'\) in \(A''\) übergeführt, so bestimmen entsprechende Strahlen durch \(A\) und \(A'\) einen Kegelschnitt \(\alpha \) durch \(A\) und \(A'\), ebenso \(A'\) und \(A''\) einen Kegelschnitt \(\alpha '\) durch \(A'\) und \(A''\); die neuen Schnittpunkte von \(\alpha \) und \(\alpha '\) sind die gesuchten Doppelpunkte. Die Doppelgeraden sind dualistisch die gemeinsamen Tangenten zweier Kegelschnitte \(\beta \) und \(\beta '\). Im vorliegenden Spezialfall haben \(\alpha \) und \(\alpha '\) und ebenso \(\beta \) und \(\beta '\) Dreipunktberührung im Element \((F, f)\). Die Untersuchung erleichtert sich, wenn \(f\) die unendlich ferne Gerade und \(F\) also unendlich fern ist. Die invarianten Kegelschnitte sind dann kongruente Parabeln mit gemeinsamer Achse durch \(F\); der Parameter sei \(p\). Die Kegelschnitte \(\alpha \) und \(\beta \) werden dann Parabeln mit dem Parameter \(\frac {1}{2}p\) bzw. \(2p\).