Aufgabe 75 (gestellt in Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 131-132 kursiv). Lösungen von H. Neumann, L. Klug und F. Gruber. (Q576111)

Die Aufgabe lautet: Folgende neue Eigenschaften der Parabel sollen -- synthetisch oder analytischgeometrisch -- bewiesen werden. Eine beliebig, aber fest gewählte Tangente \(t_0\) der Parabel berühre sie im Punkte \(B_0\) und treffe die Direktrix \(d\) im Punkte \(O\). Auf \(t_0\) markiere man zwei symmetrisch zu \(O\) gelegene Punkte \(F_1\), \(F_2\), in der beliebig aber fest gewählten Entfernung \(e\) von \(O\). Sei \(B_0'\) der zu \(B_0\) bezüglich \((F_1, F_2)\) vierte harmonische Punkt auf \(t_0\). Andrerseits treffe \(t_0\) eine variierende Tangente \(t'\) im Punkte \(G'\), und \(G\) sei der bezüglich \((F_1, F_2)\) vierte harmonische Punkt auf \(t_0\). Dann lautet der erste Hauptsatz: I. Die von \(G\) auf \(t'\) gefällte Lotgerade \(g\) geht stets durch einen festen Punkt \(P_0\), den Schnittpunkt von \(d\) mit der in \(B_0'\) auf \(t_0\) senkrecht stehenden Geraden. Je zwei so einander zugeordnete Geraden \(t'\), \(g\) sind konjugiert in bezug auf alle Individuen der Schar \(\varSigma\) konfokaler Mittelpunktskegelschnitte \(\gamma\), mit den beiden (reellen) Brennpunkten \(F_1\), \(F_2\); oder, was auf dasselbe hinauskommt, \(t'\) und \(g\) entsprechen sich in der durch die Schar \(\varSigma\) bestimmten quadratischen ``fokalen'' Geradenverwandtschaft \(\mathbf T_2\). Zugleich sind \(t'\) und \(g\) die Tangenten an die beiden durch deren Schnittpunkt gehenden Individuen (Ellipse und Hyperbel) der Schar \(\varSigma\). Betrachtet man andrerseits das Büschel \(B\) der Ordnungskegelschnitte \(c\) durch die beiden reellen Brennpunkte \(F_1\), \(F_2\) und die beiden zugehörigen imaginären Brennpunkte \(F_1'\) \(F_2'\) von \(\varSigma\), so ist durch die Büschel \(B\) die ``fokale'' quadratische Punktverwandtschaft \(T_2\) bestimmt. Diese ist keine andere als die wohlbekannte ``Spiegelinversion'', d. i. die mit der Spiegelung an \(t_0\) zusammengesetzte Inversion, mit Zentrum \(O\) und Radius \(e\) (in komplexen Variablen \(zz'= e^2\)). Dann lautet der zweite Hauptsatz: II. Der Brennpunkt \(F\) der Parabel und der feste Punkt \(P_0\) entsprechen sich in der Spiegelinversion \(T_2\). Überdies beachte man noch den Satz: Errichtet man auf der Geraden \(f_1=(P_0,F_1)\) in \(F_1\) die Senkrechte \(f_1'\) und entsprechend auf der Geraden \(f_2 = (P_0, F_2)\) in \(F_2\) die Senkrechte \(f_2'\), so sind auch \(f_1'\) und \(f_2'\) Tangenten der Parabel, und ihre Berührungspunkte werden durch die obige Gerade \((P_0, B_0')\) ausgeschnitten. Läßt man im besonderen die partikuläre Tangente \(t_0\) in die Scheiteltangente rücken, so gelangt man auch zum Grenzfall einer Schar \(\varSigma\) konfokaler Parabeln. Die mannigfaltigen bekannten Eigenschaften des Brennpunktes \(F\) erscheinen so, zugleich in gewissen Verallgemeinerungen, als Ausstrahlungen der beiden Hauptsätze.