Le involuzioni sulle curve algebriche ed il teorema generale di diramazione per le funzioni fuchsiane. (Q576120)

Es sei \(f\) eine ebene irreduzible algebraische Kurve, zu der die Grenzkreisuniformisierende \(\eta\) mit der \textit{Fuchs}schen Gruppe \(\varGamma\) gehört; zwischen \(f\) und einer andern irreduziblen Kurve \(C\) bestehe eine Korrespondenz \((1, n)\), die auf \(C\) eine Involution \(\gamma_n^1\) erzeugt. Der Kern der Arbeit ist das Studium der Beziehungen zwischen \(f\) und \(C\), die dann gelten, wenn \(\eta\) auch uniformisierende Variable von \(C\) ist, mit ändern Worten, wenn \(\gamma_n^1\) mittels linearer Substitutionen von \(\eta\) erzeugt wird. Die zu \(C\) gehörige \textit{Fuchs}sche Gruppe \(G\) ist dann eine Untergruppe von \(\varGamma\) vom Index \(n\). Der Hauptsatz lautet dann so: Es seien \(D_1\), \(D_2\),\dots, \(D_m\) die Verzweigungspunkte von \(\eta\) auf \(f\) mit den Verzweigungszahlen \(\nu_1\),\dots, \(\nu_m\); notwendig und hinreichend dafür, daß \(\eta\) auch uniformisierende Variable von \(C\) ist, ist, daß die Abbildung von \(C\) auf \(f\) nur in den Punkten \(D_i\) mit Verzweigungszahlen, die Teiler der \(\nu_i\) sind, verzweigt sei. In den Anwendungen kann man entweder von \(f\) und \(\varGamma\) ausgehen und \(C\) und \(G\) bestimmen, oder von \(C\) und \(\gamma_n^1\) ausgehen und ein \(\eta\) bzw. \(f\) suchen. Ordnet man die einem allgemeinen Punkte von \(f\) auf \(C\) entsprechenden \(n\) Punkte in bestimmter Reihenfolge an, so ist damit die Monodromiegruppe \(M\) der Darstellung von \(C\) auf \(f\) festgelegt; jeder Operation aus \(\varGamma\) ist eine aus \(M\) zugeordnet, derart, daß zwischen \(\varGamma\) und \(M\) ein Schiefisomorphismus entsteht; bei diesem entspricht der Identität von \(M\) in \(\varGamma\) eine invariante Untergruppe \(\varLambda\), und dieser wiederum eine Kurve \(L\), die man als die \textit{Galois}sche Kurve der Korrespondenz zwischen \(C\) und \(f\) bezeichnet, und deren Eigenschaften untersucht werden. Die gruppentheoretische Frage, wie man umgekehrt aus \(\varGamma\) und \(G\) die Gruppe \(M\) findet, wird auch beantwortet. Der zweite Teil der Arbeit enthält verschiedene Anwendungen. Zunächst wird die Frage behandelt, wie man bei Vorgabe von \(\varGamma\) durch ein Fundamentalpolygon und ein System erzeugender Substitutionen die Untergruppen \(G\) von endlichem Index \(n\) ermitteln kann; sie läßt sich auf elementarem kombinatorischem Wege lösen. Anwendung wird auf den Fall \(n = 2\), sowie den Fall zyklischer Monodromiegruppe gemacht. Ein besonders interessantes Beispiel ist das der allgemeinsten \((1, 3)\)-Korrespondenz zwischen zwei Geraden, das mit der Transformationsgleichung zwischen \(\wp(u\mid\omega,\omega')\) und \(\wp(u\mid3\omega,\omega')\) identisch ist; die Bestimmung der Monodromiegruppe und der \textit{Galois}schen Kurve läßt ihre Lösbarkeit durch Radikale erschließen. \textit{Poincaré} hat sich mit den \textit{Fuchs}schen Gruppen \(G\) befaßt, die zugleich Untergruppen verschiedener \textit{Fuchs}scher Gruppen sind; demgemäß handelt das letzte Beispiel von einer Kurve \(C\) des Geschlechts 2, die mehrere rationale Transformierte \(f'\), \(f''\),\dots mit der gleichen Uniformisierenden \(\eta\) gestattet. (IV 6 D, V 5 A.)