Résultats récents dans la théorie des modules des courbes algébriques. (Q576128)

Verf. berichtet über die zum größten Teil von \textit{B. Segre} gefundenen Ergebnisse mit kurzer Darstellung der Gedankengänge der Beweise. Stellt man jede Kurve \(n\)-ter Ordnung als Punkt in einem Baum von \(\frac12n(n + 3)\) Dimensionen dar, so bilden o irreduziblen Kurven vom Geschlecht \(p\) eine irreduzible Mannigfaltigkeit; auch die Gesamtheit der Mannigfaltigkeiten, die den Klassen von Kurven gleicher Moduln entsprechen, ist irreduzibel. Sie ist das Bild einer Involution in einem Raum von \(3p - 3\) Dimensionen, wenn \(p < 11\) ist. Für \(p \leqq 6\) und nur in diesem Fall gibt es lineare Systeme von ebenen Kurven allgemeiner Moduln. \(\varXi\) sei ein vollständiges irreduzibles System von Kurven mit einer bestimmten Anzahl vielfacher Punkte, und das allgemeine lineare Teilsystem \(|\varGamma|\) habe seine vielfachen Basispunkte in allgemeiner Lage. Ist \(|\varGamma|\) regulär und \(p\geqq 11\), so haben die Kurven von \(\varXi\) spezielle Moduln. Für ein beliebiges System \(\varXi\) mit \(p\geqq 36\) sind die Kurven mit allgemeinen Moduln isoliert. Weitere Ergebnisse beziehen sich auf die ``\(\nu\)-gonalen Kurven'', d.h. solche, die eine lineare Schar \(g_\nu^1\) enthalten mit \(\nu < \frac p2 +1\). Sie haben spezielle Moduln, und zwar hängen sie von \(2p + 2\nu -5\) Moduln ab. Es gibt eine irreduzible algebraische Funktion \(y (x)\) von \(\nu\) Zweigen \((\nu\geqq 3)\) und mit \(2\nu + 2p - 2\) Verzweigungspunkten. Sind diese in allgemeiner Lage, und ist \(\nu\leqq p+2\), so ist der Grad der \(y\) und \(x\) verbindenden Gleichung \(\geqq\frac12(p + \nu+ 2)\). Enthält eine Kurve eine Schar \(g_\nu^1\) mit \(\nu\leqq p + 2\), so ist sie birational äquivalent einer ebenen Kurve der Ordnung \(\frac12(p + \nu) + \varepsilon + 1\) mit einem vielfachen Punkt der Ordnung \(\frac12(p - \nu) + \varepsilon + 1\) (\(\varepsilon= 0\) oder \(\frac12\)). Sie ist im allgemeinen von kleinster Ordnung und normal. (V 5 A.)