Some theorems on plane curves. (Q576132)

Im folgenden bezeichne \(f_k (x)\), \(g_n (x)\) usw. stets ein Polynom in \(x\) vom Grade \(k\) bzw. \(n\) usw. Es handelt sich um folgende Aufgabe: Alle ``Kurven'' \(y = f_k(x)\) zu bestimmen, welche mit einer gegebenen Kurve \(y^2 = g_n (x)\) im Endlichen nur Berührungspunkte gemeinsam haben, von denen übrigens einer (\(x = a\), \(y = b\)) vorgegeben sein möge (\(b\neq 0\); \(n \leqq 2 k \leqq 2n\)). Die Nullstellen \(e_\nu\) von \(g_n(x)\) seien alle nur einfach. Verf. zeigt: Die Anzahl der \(f_k(x)\) ist für \(2k > n\) gleich \(C_k^n\), für \(2k= n\) gleich \(\frac12C_k^n\). Man erhält eine der \(f_k (x)\) so: Man lege durch \((a, b)\) und \(k\) der \((e_\nu, 0)\) eine Kurve \(g_k(x)\), ferner durch \((a, b)\) und die übrigen \(n - k\) der \((e_\nu, 0)\) eine Kurve \(g_{n-k} (x)\). Dann kann gesetzt werden : \[ f_k(x)=\tfrac12\big(g_k(x)+g_{n-k}(x)\big). \] Beweis aus der Identität: \[ (g_k+g_{n-k})^2-4g_kg_{n-k}=(g_k-g_{n-k})^2. \] Die Konstruktion wird an einem einfachen Beispiel durchgerechnet.