Useful functions associated with rational cubic curves. (Q576163)

Die Kurve dritter Ordnung \[ \varrho x_i=(\lambda-\lambda_i)(\lambda-\lambda_{i+2})(\lambda-s_i),\qquad (i=1,2,3) \] hat eine Spitze in einer Ecke des Koordinatendreiecks oder besitzt einen Doppelpunkt, wenn \[ a=(\lambda_3-s_1)(\lambda_1-s_2)(\lambda_2-s_3)(\lambda_1-s_1)(\lambda_2-s_2)(\lambda_3-s_3) \] verschwindet. Wenn die Kurve eine Spitze besitzt, so verschwindet \(A\) für die Kurven dritter Ordnung, für die die Spitze in eine Ecke des Bezugsdreiecks fällt; für alle ändern ist \(A\neq0\). Ein Koordinatendreieck, das einer Kurve mit Doppelpunkt einbeschrieben ist, kann so gewählt werden, daß \(A\) verschwindet. Für die dem Koordinatendreieck einbeschriebenen Kurven \[ \varrho x_i=(t-t_i)^2(t-r_i) \] hat die Funktion \[ B=(t_3-r_1)(t_1-r_2)(t_2-r_3)-(t_2-r_1)(t_3-r_2)(t_1-r_3) \] eine analoge Bedeutung.