Die Klassifikation der algebraischen Flächen. (Q576225)

Ein lineares Kurvensystem \(| \mathfrak C |\) auf einer Fläche \(F\) wird durch seine Dimension \(r\), seinen Grad \(n\) und das Geschlecht \(\pi\) der Kurven \(C\) charakterisiert. Ist \(\pi > 1\), so existiert auf jeder Kurve \(C\) die kanonische Schar, deren Gruppen von dem adjungierten System \(| \mathfrak C' |\) ausgeschnitten werden, wenn \(|\mathfrak C|\) frei ist von Fundamentalkurven. Das adjungierte System von \(|\mathfrak C' |\) wird mit \(|\mathfrak C'' |\) bezeichnet, usw. Existiert das Residualsystem \(|\mathfrak C' -\mathfrak C |\), so bilden seine von den ausgezeichneten Kurven befreiten Kurven das birational invariante kanonische System \(|\mathfrak K|\). Seine Dimension wird mit \(p_g - 1\) bezeichnet, sein Geschlecht mit \(p^{(1)}\). Existiert auf einer Fläche \(| \mathfrak K |\) nicht, aber ein Vielfaches \[ |i\mathfrak K|=|\mathfrak C^{(i)}-\mathfrak C|, \] so wird die Dimension dieses \(i\)-kanonischen Systems mit \(P_i- 1\) bezeichnet, \(p_g\) heißt geometrisches Geschlecht der Fläche; \(P_i\) heißen die Mehrgeschlechter. Ist \(p^{(1)} > 1\) und \(p_g \geqq 4\), so kann man \(F\) birational auf eine Fläche \(\overline{F}\) des \((p_g - 1)\)-dimensionalen Raumes abbilden, so daß die kanonischen Kurven auf der kanonischen Fläche \(\overline{F}\) durch die Hyperebenen ausgeschnitten werden. Jede projektive Invariante von \(\overline{F}\) ist eine birationale Invariante von \(F\), und die birationale Klassifikation der algebraischen Flächen ist auf die projektive Klassifikation der Flächen des \(R_{p_g-1}\) zurückgeführt. Etwas Analoges gilt, wenn nicht \(p_g\), aber ein \(P_i\geqq 4\) ist. Verf. gibt nun eine Charakterisierung der Flächen, bei denen die genannte Transformation nicht anwendbar ist. Zu diesem Zwecke werden die algebraischen Flächen nach der Größe der Invariante \(P_{24}\) eingeteilt: \(P_{24} = 0\) charakterisiert die Flächen, die einer Regelfläche oder der Ebene äquivalent sind. Auf ihnen gibt es weder ein kanonisches noch ein mehrkanonisches System. \(P_{24} = 1\) charakterisiert die Flächen, die keine eigentlichen kanonischen oder mehrkanonischen Kurven besitzen und nicht zum Typus der Regelflächen gehören; für diese Flächen ist \(p^{(1)} = 1\), und zwischen den Charakteren jedes Kurvensystems eines von den ausgezeichneten Kurven befreiten Modells besteht die Beziehung \(n = 2\pi - 2\). Sämtliche Geschlechter haben den Wert 0 oder 1. \(P_{24} > 1\) charakterisiert die Flächen mit eigentlichen mehrkanonischen Kurven, die sich, wenn \(p^{(1)} > 1\) ist, auf eine projektive Normalform reduzieren lassen.