Some properties of line congruences. (Q576267)

Mittels der Darstellung einer Linienkongruenz \(\varGamma\) durch eine Fläche \(F\) auf einer Hyperquadrik im fünfdimensionalen Raum untersucht Verf. die Regelfläche der Geraden von \(\varGamma\), die eine gegebene Gerade schneiden, ferner die \(d\) Doppelgeraden von \(\varGamma\) und die Brennfläche \(\varphi\). Sind \(m\) und \(n\) Ordnung und Klasse von \(\varGamma\), \(c\) der Rang von \(\varphi\), \(a\) der Rang der Regelfläche, die \(\varGamma\) und ein beliebiger linearer Komplex gemeinsam haben, und \(j\) die Anzahl der Brennebenen durch einen gegebenen Punkt, die einen Brennpunkt in einer gegebenen Ebene haben, so ist \[ d=\binom m2+\binom n2-\frac12j \] Ordnung \(\mu\) und Klasse \(\nu\) von \(\varphi\) sind \[ \mu= a - 2n,\quad \nu = a - 2m. \] Die Ordnung der Regelfläche der Geraden von \(\varGamma\) mit zusammenfallenden Brennpunkten ist \[ \varrho_2 = 2a - 2 (m + n). \] \(\varphi\) besitzt eine Doppellinie und eine Rückkehrlinie der Ordnungen \[ \begin{aligned} \mu_2&=\binom a2-2an+4\binom n2+\frac{3a}2-3j-2c+12n,\\ \mu_3&=-a+2j+c-6n. \end{aligned} \] Den Trisekanten von \(F\) entsprechen gewisse Geradenbüschel, deren Trägerpunkte die triadische Fläche \(T\) bilden, und deren Ebenen eine Fläche \(\mathfrak T\) umhüllen. Diese Flächen werden ebenfalls untersucht, ferner die ``bifokale'' und die ``trifokale'' Regelfläche. Endlich werden Relationen für Anzahlen \(\alpha_h\) und \(\beta_h\) der \(h\)-fachen Punkte bzw. Ebenen abgleitet. So ist \[ \begin{alignedat}{4} &\sum\alpha_h&&=18-n,&&\quad\sum h\alpha_h&&=4(n+2),\\ &\sum h^2\alpha_h&&=2n(n-2),&&\quad\sum h^3\alpha_h&&=(n+2)^2(n-1). \end{alignedat} \] Vgl. auch zwei frühere Arbeiten des Verf: Proceedings Cambridge 25 (1929), 390-406; Proceedings L. M. S. (2) 32 (1930), 72-86; F. d. M. \(55_{\text{I}}\), 388; \(56_{\text{I}}\), 568.