Aufgabe 74 (gestellt in Jahresbericht D. M. V. 38 (1929), 131 kursiv). Lösung von F. Gruber. (Q576274)

Die Aufgabe lautet: Der Sekantensatz für Kreise (\(s_1s_2 =\) const) läßt sich umkehren, wie folgt: ``Für einen Kegelschnitt \(c_2\) und einen partikulären Punkt \(P_0\) einer Ebene, der nicht auf \(c_2\) selbst liege, gelte der Sekantensatz. Dann gilt er auch für jeden Punkt \(P\) der Ebene, und \(c_2\) ist ein Kreis.'' Will man sich auf reelle Gebilde beschränken, so bedarf der Satz einer leichten Modifikation. Entsprechendes gilt für die Kugel und die analogen Gebilde im \(S_n\). Diese charakteristische Eigenschaft für Kreise und Kugeln läßt sich auf gewisse höhere Gebilde ausdehnen. Der interessanteste Fall ist der der Zykliden, d. h. der Flächen vierter Ordnung die den Kugelkreis doppelt enthalten. Für jeden Raumpunkt \(P\) gilt zunächst, wie leicht zu sehen, der direkte ``Sekantensatz'': ''Die vier von \(P\) aus gerechneten Sekantenabschnitte, die durch den Schnitt irgendeiner Geraden durch \(P\) mit der Zyklide gebildet werden, besitzen ein konstantes Produkt.'' Dann gilt wieder die Umkehrung: ``Für eine Fläche vierter Ordnung \(F\) existiere ein partikulärer (nicht auf \(F\) selbst gelegener) Punkt \(P_0\), für den der Sekantensatz gelte. Dann gilt er auch für jeden Raumpunkt \(P\), und die Fläche \(F\) ist eine Zyklide.''