On representation of the \(S_k\)'s of \(S_n\) and of the Graßmann manifolds \(G(k, n)\). (Q576300)

\(N_0\), \(N_1\),\dots, \(N_k\) seien \(n\)-dimensionale Räume, die homographisch auf \(S_n\) bezogen und in einem Raum \(R\) von \((k + 1) (n +1) - 1\) Dimensionen enthalten sind. Die einem \(S_k\) von \(S_n\) entsprechenden Teilräume der \(N_n\) haben einen Verbindungsraum \(\varPi\) von der Dimension \((k + 1)^2 - 1\). Ein in \(R\) enthaltener Raum \(\varSigma\) von der Dimension \((n - k) (k + 1)\) wird von jedem \(\varPi\) in einem Punkt geschnitten, so daß damit eine birationale Abbildung der \(S_k\) von \(S_n\) auf die Punkte von \(\varSigma\) hergestellt wird. Verf. betrachtet solche Abbildungen für verschiedene Lagen von \(\varSigma\) und die damit verbundenen Darstellungen der linearen \(S_k\)-Komplexe. Im zweiten Teil wird die zu einer speziellen Abbildung gehörige Parameterdarstellung der \textit{Graßmann}schen Mannigfaltigkeit \(G(k, n)\) behandelt und gezeigt, wie man diese durch Projektion erhalten kann. Im dritten Teil werden Anwendungen gemacht auf die Linien des \(S_n\), die Flächen des \(S_5\) und die selbstdualen \(S_k\) eines \(S_{2k+1}\).