A series of rational loci with one apparent double point. (Q576307)

Eine Mannigfaltigkeit \(V_n\) im \([2n + 1]\), z. B. eine Kurve im [3] oder eine Fläch im [5], besitzt \(\infty^{2n}\) Sehnen; von diesen gehen nur endlich viele durch jeden allgemeinen Punkt des Raumes. Für die kubische Kurve im [3] und für die \textit{Del Pezzo}sche Fläche \(V_2^5\) im [5] ist die Anzahl gleich Eins. Für diese Tatsache wird hier bei der \textit{Del Pezzo}schen Fläche ein einfacher algebraischer Beweis gegeben, der von der Abbildung der Fläche auf eine Ebene ausgeht. Um den Satz auf höhere Dimensionen zu verallgemeinern, betrachtet Verf. eine \(V_n\) im \([2n + 1]\), deren lineare \(2n\)-dimensionale Schnitte als kubische Mannigfaltigkeiten der Gestalt \[ (\lambda_{10}y_0+\lambda_{11}y_1+\cdots+\lambda_{1n}y_n)\varOmega_1+ (\lambda_{20}y_0+\lambda_{21}y_1+\cdots+\lambda_{2n}y_n)\varOmega_2=0 \] im \([n]\) dargestellt werden können, wobei \(\varOmega_1 = 0\), \(\varOmega_2 = 0\) zwei feste \((n - 1)\)-dimensionale Quadriken im \([n]\) bedeuten. Diese \(V_n\) ist von der Ordnung \(2n + 1\). Durch jeden Punkt des Raumes geht genau eine Sehne der \(V_n^{2n+1}\), wie Verf. durch vollständige Induktion beweist. Es werden dann noch einige Eigenschaften der \(V_n^{2n+1}\) behandelt: Die \(V_n^{2n+1}\) enthält \(\infty^1\;(n - 1)\)-dimensionale Quadriken \(Q_{n-1}\); durch jeden Punkt der \(V_n^{2n+1}\) geht genau eine \(Q_{n-1}\) Ferner werden die auf der \(V_n^{2n+1}\) gelegenen geraden Linien und die Projektion der \(V_n^{2n+1}\) auf einen \([n]\) behandelt.