Möbiussche Tetraeder und Segresche \(V_3^3\). (Q576317)

Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß drei Paare von Punkten \(p_1,r_1;\;p_2,r_2;\;p_3,r_3\) des \(R_3\) Gegeneckenpaare zweier \textit{Möbius}scher Tetraeder werden, d. h. die einander gleichzeitig ein- und umbeschrieben sind, ist das Bestehen einer der beiden äquivalenten Relationen \[ \begin{gathered} (p_1 p_2 p_3,\;p_1 r_2 r_3,\;p_2 r_3 r_1,\;p_3 r_1 r_2)=0,\\ (r_1 r_2 r_3,\;r_1 p_2 p_3,\;r_2 p_3 p_1,\;r_3 p_1 p_2)=0. \end{gathered} \] Sind nun \(p_1,r_1;\;p_2,r_2;\;p_3,r_3\) Punktepaare des \(R_4\) in allgemeiner Lage, so ergibt sich nach dem Übertragungsprinzip von \textit{Clebsch} für den Ort der Punkte \(x\), von denen aus diese Punktepaare als Gegeneckenpaare zweier \textit{Möbius}sche Tetraeder erscheinen, die Gleichung \[ (p_1 r_1 p_2 r_3 x)(p_2 r_2 p_3 r_1 x)(p_3 r_3 p_1 r_2 x)(p_1 r_1 p_3 r_2 x)(p_2 r_2 p_1 r_3 x)(p_3 r_3 p_2 r_1 x)=0. \] Das ist die Gleichung einer \textit{Segre}schen \(V_3^3\), die die sechs gegebenen Punkte als Doppelpunkte besitzt. Sie läßt sich auf 60 verschiedene Weisen durch dieses Verfahren gewinnen. (V 5 E.)