Über den Satz von ``Curvatura integra''. (Q576422)

Sei \(C\) eine geschlossene Kurve, die ein einfach zusammenhängendes Flächenstück begrenzt, \(w\) der Flächeninhalt des sphärischen Bildes, \(\dfrac 1\varrho\) die Krümmung von \(C\) und \(\varphi\) der Winkel zwischen der Flächennormalen \(\xi\) und der Binormalen von \(C\). Dann läßt sich die \textit{Gauß-Bonnet}sche Formel in der Gestalt schreiben: \[ \pm w = 2\pi - \oint \frac{\cos \varphi}{\varrho}\,ds. \] Sie gilt unabhängig von der Fläche, wenn nur jedem Punkt von \(C\) ein Vektor \(\xi\) zugeordnet wird, jedoch nur bis auf ein Vielfaches von \(2\pi\). Wählt man z. B. als \(\xi\) den Hauptnormalenvektor von \(C\), so ergibt sich wegen \(0 < w < 4\pi\) der Satz von \textit{Jacobi}: \(w=2\pi\). Anwendung der Formel auf die Parallelkurve \(C_\vartheta\) zur sphärischen Kurve \(C\) im sphärischen Abstand \(\vartheta\) ergibt die Formeln von \textit{Bernstein} (\(L =\) Länge, \(F =\) Flächeninhalt): \[ F_\vartheta=2\pi(1-\cos\vartheta)+L\sin\vartheta+F\cos\vartheta, \quad L_\vartheta=2\pi\sin \vartheta + L\cos\vartheta-F\sin\vartheta. \]