Ein Abbildungssatz. (Q576434)

Wenn man eine beliebige Fläche punktweise auf eine Ebene abbildet, so besteht zwischen der geodätischen Krümmung einer Flächenkurve \(\varrho_g\) und der gewöhnlichen ebenen Krümmung \(\varrho\) ihrer Bildkurve ein Zusammenhang, in den nur der lineare Maßstab \(M\) der Abbildung: \[ M=\frac{\sqrt{Eu'{}^2+2Fu'v'+Gv'{}^2}}{\sqrt{u'{}^2+v'{}^2}} \] (der Strich bedeutet die Ableitung nach dem Kurvenparameter), gewisse Ableitungen desselben und die Determinante der ersten Fundamentalform, deren Quadratwurzel Verf. den Flächenmaßstab \(\mu^2\) der Abbildung nennt: \[ \mu^2 = \sqrt{EG-F^2}. \] eingehen. Die Formel lautet: \[ \frac 1\varrho=\frac 1{\varrho_g}\frac{M^3}{\mu^2} -\frac{M^3}{\mu^4}\left(\frac \partial{\partial s}\frac {\partial M}{\partial q}-\frac{\partial M}{\partial n}\right). \tag \(^*\) \] Dabei bedeutet \(\dfrac \partial{\partial q}\) die Differentiation nach dem Richtungswinkel \(q\) der Kurve, der mit der Richtung \(p\) des ebenen Bildes der Flächenkurve \(\left(p =\dfrac {v'}{u'}\right)\) durch die Beziehung \(p = \operatorname{tg} q\) zusammenhängt; ferner bedeuten \(\dfrac \partial{\partial n}\) bzw. \(\dfrac \partial{\partial s}\) die Differentiationen in Richtung der Kurvennormale bzw. in Richtung der ebenen Kurve. Beim Beweis von \((^*)\) geht Verf. von der \textit{Beltram}ischen Formel für \(\varrho_g\) aus.