Détermination des éléments linéaires pour lesquels il existe un réseau triangulaire de géodésiques. (Q576438)

Es seien die drei Scharen von Geodätischen von der Eigenschaft, daß durch jeden Punkt genau eine aus jeder Schar hindurchgeht, die Kurven \[ u = \operatorname{const}, \quad v = \operatorname{const}, \quad v - u = \operatorname{const}. \] Die Differentialgleichung der Geodätischen ist dann von der Form \[ v'' = \varrho(u,v)v'(v'-1) \tag{1} \] und hat einen \textit{Jacobi}schen Multiplikator von der Form \[ M_1 = (a + 2bv' + cv'{}^2)^{-\frac 32}, \] wo mit den Größen \(a\), \(b\), \(c\) auch die Fundamentalgrößen erster Ordnung bestimmt sind. Setzt man: \[ \sigma_{uv}=-\tfrac 23 \varrho, \] so wird: \[ a = e^{\sigma_v}, \;c = e^{\sigma_u}, \] \[ \left\{ \begin{matrix} b_u=-\dfrac b2\sigma_{uv}-e^{\sigma_v}\left(\sigma_{uv}+\dfrac 12\sigma_{vv}\right), \\ b_v=-\dfrac b2\sigma_{uv}-e^{\sigma_u}\left(\sigma_{uv}+\dfrac 12\sigma_{uu}\right). \end{matrix} \right. \tag{2} \] Diese bereits bekannten Differentialgleichungen führen im Falle, daß die Integrabilitätsbedingung identisch erfüllt ist, auf \textit{Liouville}sche Flächen. Im andern Falle erhält man aus (2) zwei partielle Differentialgleichungen vierter Ordnung für \(\sigma\). Mittels des zweiten \textit{Jacobi}schen Multiplikators \(M_2=\dfrac 1{v'(v'-1)}\) findet Verf. das in \(v'\) rationale erste Integral \(M_1^3M_2^2 =\) const, woraus sich durch Quadraturen ein zweites bestimmen läßt. Schließlich erhält Verf. ein integrierbares \textit{Laplace}sches System, dessen Lösung durch Quadraturen möglich ist. Die Lösungen hängen von drei willkürlichen Funktionen eines Arguments ab. Anschließend skizziert Verf. Verallgemeinerungen, die die Gleichung \[ v''=\varrho(u,v)\varPhi(v', uv' - v) \] betreffen; eine ausführliche Darstellung wird einer besonderen Abhandlung vorbehalten.