Sur les équations de Laplace relatives aux coordonnées ponctuelles et tangentielles d'une surface rapportée à un réseau conjugué; parallélisme de Peterson. (Q576493)

Es handelt sich um die Theorie der Gleichung \[ \frac {\partial^2\sigma}{\partial u\partial v}+ a\frac{\partial \sigma}{\partial u}+b\frac{\partial \sigma}{\partial v}+c\sigma=0 \tag \(P\) \] und der Transformation \[ \sigma_1=\frac{\partial \sigma}{\partial u}+b\sigma. \] Nach \textit{G. Darboux} kommt diese Transformation geometrisch auf die Konstruktion des zweiten Brennflächenmantels \(S_1\) des Strahlsystems, das von sämtlichen Tangenten an die Kurven \(v=\) const einer Integralfläche \[ S: \quad x(u,v), \;y (u, v), \;z (u, v), \;t (u, v) \] (\(x\), \(y\), \(z\), \(t\) homogene Koordinaten; \(u\), \(v\) konjugierte Parameter) erzeugt wird, hinaus. Wiederholt man den Prozeß, so entsteht die Folge: \[ S, S_1, S_2, \ldots, S_n. \] Für die weitere Theorie sind die beiden Invarianten \[ h=\frac{\partial a}{\partial u}+ab-c, \quad k=\frac{\partial b}{\partial v}+ ab - c \] von \((P)\) bezüglich \(u\) bzw. \(v\) von Bedeutung. Durch Elimination von \(\sigma_1\) entsteht: \[ \frac{\partial^2 \sigma_1}{\partial u\partial v}+a \frac{\partial \sigma_1}{\partial u}+\left(b\frac{\partial \log k}{\partial u}\right)\frac{\partial \sigma_1}{\partial v}+\left(c + \frac{\partial a}{\partial u}-a \frac{\partial \log k}{\partial u}\right)\sigma_1= 0. \tag \(P_1\) \] Für \(k\neq 0\) entspricht jedem Integral von \((P)\) ein und nur ein Integral von \((P_1)\), und man erhält so die beiden Folgen: \[ \begin{gathered} \ldots, P_{-2},P_{-1},P,P_1,P_2,\ldots,P_n,\ldots, \\ \ldots, S_{-2},S_{-1},S,S_1,S_2,\ldots,S_n,\ldots. \end{gathered} \] Dualistisch erweisen sich die Koeffizienten \(\xi\), \(\eta\), \(\zeta\), \(\pi\) der Tangentialebene \[ \xi x+\eta y +\zeta z +\pi t=0 \] der Fläche \(S\) als Lösiing einer neuen \textit{Laplace}schen Gleichung \[ \frac{\partial^2 \theta}{\partial u\partial v}+A \frac{\partial \theta}{\partial u}+B \frac{\partial \theta}{\partial v}+C\theta=0, \tag \(T\) \] und man erhält so schließlich drei Folgen: \[ \begin{gathered} \ldots, P_{-2},P_{-1},P,P_1,\ldots,P_n,\ldots, \\ \ldots, S_{-2},S_{-1},S,S_1,\ldots,S_n,\ldots, \\ \ldots, T_{-2},T_{-1},T,T_1,\ldots,T_n,\ldots. \\ \end{gathered} \] Verf. behandelt nun den interessanten Fall, wo die Reihe der Gleichungen \((P)\) bzw. \((T)\) abbricht, d. h. etwa \(P_m\) oder \(T_n\) in eine Gleichung erster Ordnung degeneriert. Dann verschwindet stets \(k_{m-1}\) bzw. \(h_{n-1}\) und die Fokalfläche \(S_m\) wird zur Kurve, zum Punkt bzw. verschwindet; \(S_n\) wird entsprechend zur Torse, zur Ebene oder verschwindet. Indessen bricht die \(P\)-Folge nicht notwendig zugleich mit der Degeneration von \(S\) in eine Kurve ab, da das duale Kriterium des Abbrechens im allgemeinen ein andres wird: Eine Kurve ist Ort von \(\infty^1\) Punkten, aber Ort von \(\infty^2\) Ebenen, eine Torse Ort von \(\infty^2\) Punkten, aber Ort von \(\infty^1\) Ebenen. Um die ganze Studie zu vereinfachen, beschränkt sich Verf. im wesentlichen auf den Fall \(k = 0\). Man hat dann bereits fünf Flächenklassen zu unterscheiden. Geht man zum metrischen Standpunkt über und beachtet, daß die Stellung der Tangentialebenen \[ \xi x+\eta y +\zeta z +\pi t=0, \quad \xi x+\eta y +\zeta z +\bar \pi t=0 \] von \(\pi\) unabhängig ist, so hüllen diese Tangentialebenen (unter \(\bar \pi\) ein fünftes Integral der \textit{Laplace}schen Gleichung verstanden) zwei Flächen \(S\) und \(\overline S\) ein, die sich durch parallele Tangentialebenen entsprechen; das \((u,v)\)-Netz ist auf allen diesen Flächen konjugiert; in homologen Punkten von \(S\) und \(\overline S\) sind die Tangenten von \(u =\) const bzw. \(v =\) const parallel (Parallelismus von \textit{Peterson}).