On curvatures of a hypersurface. (Q576594)

Verf. betrachtet im \textit{Riemann}schen \(V_{n+1}\) von der Fundamentalform \(h_{\mu \nu} dy^{\mu}\, dy^{\nu}\) die \textit{Riemann}sche \(V_n\) vom Fundamentaltensor \(g_{ij} dx^i\, dx^j\) und vom Haupttensor \(\varOmega_{ij} dx^i\, dx^j\). Die Eigenwerte \(R_1, \ldots, R_n\) der Parametermatrix \[ (g_{ij} - R \varOmega_{ij}) \] führen auf die Krümmungen \[ K_1 = \sum \frac{1}{R_p}, \, K_2 = \sum \frac{1}{R_p R_q}, \, \ldots, K_n = \sum \frac{1}{R_1 R_2 \cdots R_n}, \] für welche Verf. explizite Darstellungen vermöge \(g_{ij}\) und \(\varOmega_{ij}\) gibt in Form \textit{Laplace}scher Determinantenentwicklungen. Unter dem assoziierten Tensor der \textit{Riemann}schen \(V_n\) versteht Verf. die Bildung \[ a_{hk} = \varOmega_{ih} \varOmega_{jk} g^{ij} = \sum_{s=1}^{n} (-1)^{s-1} c_{hk}^{(s)} K_s, \] unter assoziierter Mannigfaltigkeit eine \textit{Riemann}sche \(V_n^{'}\) vom Fundamentaltensor \(a_{hk}\). Nach einer Reihe allgemeinerer Resultate über die Beziehungen von \(V_n\) zu \(V_n^{'}\), worunter jedoch geometrische Deutungen der Krümmungen \(K_2, K_3,\ldots\) immer noch zu vermissen sind (\(K_1 = 0\) charakterisiert bekanntlich Minimalhyperflächen), behandelt Verf. im letzten Abschnitt die hypersphärische Abbildung einer \(V_n\) des \(S_{n+1}\) auf eine Einheitshypersphäre mit dem ``dritten'' Fundamentaltensor \(e_{ik}\) als speziellem assoziiertem Tensor und Übertragung aller Beziehungen von \(V_n\) zu \(V_n^{'}\) auf diesen Fall (vgl. \textit{R. Frucht}, 1934; F.~d.~M. 60\(_{\text{I}}\), 668-669).