Intorno alla teoria delle superficie proiettivamente deformabili e alle equazioni differenziali ad esse collegate. (Q576618)

Diese breitangelegte Untersuchung ist den Flächen \(R\) gewidmet, die \textit{projektive Deformationen} im Sinne von \textit{Fubini} zulassen. Genauer: Nach einigen die allgemeine Theorie betreffenden Entwicklungen, die die Grundlagen für die Untersuchung liefern, gibt Verf. eine tiefgehende Untersuchung verschiedener besonderer Klassen von Flächen \(R\), indem er dabei bereits bekannte Ergebnisse neu herleitet und vervollständigt oder in ein anderes Licht setzt und Beziehungen zu andern geometrischen und analytischen Theorien, insbesondere zur Untersuchung gewisser Typen von Differentialgleichungen, herstellt. Die Arbeit gliedert sich in sechs Teile. In Teil I wird nach allgemeinen Betrachtungen über die \(W\)-Kongruenzen und insbesondere über die \(R\)-Netze und \(R\)-Kongruenzen folgendes Ergebnis gewonnen: Die Bestimmung der Flächen \(R\) läßt sich auf die Integration des Systems partieller Differentialgleichungen mit zwei unbekannten Funktionen \(c(u,v), \, \theta(u,v)\) \[ 2c_{uu} - 2c_{vv} - \left(\frac{\theta_{uu}-\theta_{vv}}{\theta}\right)_{uv} = 0, \quad c_{uu} - c_{vv} - 2 \left( c \frac{\theta_u}{\theta}\right)_{u} + 2 \left( c \frac{\theta_v}{\theta}\right)_{v} = 0 \tag{1} \] zurückführen. Zu jedem Funktionenpaar \(c\), \(\theta\) von (1) gehören \(\infty^1\) projektiv aufeinander abwickelbare Flächen, die durch das System \[ x_{uv} = \frac{\theta_v}{\theta}\, x_u + cx, \quad x_{uu} + x_{vv} = 2 \frac{\theta_u}{\theta} \, x_u + rx \tag{2} \] dargestellt werden, wobei \(r\) bis auf eine willkürliche Konstante durch \[ r_u = 2 c_v, \quad r_v = - \left( \frac{\theta_{uu}-\theta_{vv}}{\theta}\right)_v + 2c_u \tag{3} \] bestimmt ist. -- In Teil II werden diejenigen Flächen untersucht, die ein Netz \(R\) enthalten, dessen \textit{Laplace}-Transformierte beide entartet sind; diese nennt Verf. Flächen \(\mathfrak{S}\). Neben der Bestimmung aller Flächen \(\mathfrak{S}\) in endlicher Form, die schon von \textit{P. Mentré} angegeben worden ist, wird für diese Flächen eine Reihe von Eigenschaften und geometrischen Konstruktionen angegeben. Die Untersuchung der \(\infty^1\) projektiven Deformationen einer \textit{allgemeinen} Fläche \(\mathfrak{S}\), die zu andern Flächen derselben Klasse Veranlassung gibt, führt den Verf. zur Einführung einer interessanten Abbildung ebener Kurven, der \textit{Pseudoaffinität}. Zwei Kurven \(L\), \(\overline{L}\) zweier Ebenen \(\pi\), \(\overline{\pi}\) nennt der Verf. \textit{pseudoaffin}, wenn man in \(\pi\) einen Punkt \(O\) und eine Gerade \(\omega\) und in \(\overline{\pi}\) einen Punkt \(\overline{O}\) und eine Gerade \(\overline{\omega}\) wählen und zwischen den Punkten von \(L\), \(\overline{L}\) eine eineindeutige Abbildung herstellen kann derart, daß entsprechende Bögen der beiden Kurven proportionale affine Längen haben; dabei sind \(\omega\), \(\overline{\omega}\) in den als Punktbündel aufgefaßten Ebenen \(\pi\), \(\overline{\pi}\) als \textit{uneigentliche Geraden} und dual \(O\), \(\overline{O}\) in den als Geradenbündeln aufgefaßten Ebenen \(\pi\), \(\overline{\pi}\) als \textit{uneigentliche Punkte} zu deuten. Nun erfahren die ebenen Kurven, die auf den Ebenen durch zwei feste, auf der Fläche \(\mathfrak{S}\) ein Netz \(R\) mit entarteten \textit{Laplace}-Transformierten bestimmende Geraden gelegen sind, bei einer projektiven Deformation der Fläche \(\mathfrak{S}\) in eine andere Fläche \(\mathfrak{S}\) genau eine pseudoaffine Abbildung. Genauer: Das Problem der Bestimmung der projektiv Deformierten einer Fläche \(\mathfrak{S}\) und dasjenige der Bestimmung der pseudoaffin Transformierten zweier ebener Kurven aus dem entgegengesetzten System ihres Netzes \(R\) sind gleichwertig. Beide Probleme hängen von gewöhnlichen Differentialgleichungen ab, deren Integration sich auf die Bildung von Potenzreihen zurückführen läßt; die Koeffizienten dieser Potenzreihen lassen sich rekursiv allein mit Hilfe von Quadraturen berechnen. Verf. verweilt etwas bei dem Sonderfall der Flächen \(\mathfrak{S}\), bei der die eine Familie des Netzes \(R\) aus Kegelschnitten besteht; das sind die Rotationsflächen und ihre projektiv Deformierten. -- In Teil III geht Verf. dazu über, weitere besondere Klassen der Flächen \(\mathfrak{S}\) zu untersuchen: die \(W\)-Flächen von \textit{Klein} und \textit{Lie}, die tetraedralen Flächen und die Flächen \(\mathfrak{S}\), bei denen das Netz \(R\) aus zwei Familien von Kegelschnitten besteht. Die beiden Probleme der projektiven Deformation und der pseudoaffinen Transformation ebener Kurven, bei denen sich Typen von Differentialgleichungen ergeben, die auch für andere Gebiete von Bedeutung sind -- z. B. die hypergeometrische und die \textit{Bessel}sche Differentialgleichung -- werden gelöst mit Hilfe des Satzes, der die Gleichwertigkeit der Integration der beiden Differentialgleichungen \[ y'' = \varphi(x) \, y' + \psi(x), \,\; y'' = \left( \frac{d}{dx} \log \, \psi(x) - \varphi(x) \right) \, y' + \psi(x) \, y \] mit willkürlichen Funktionen \(\varphi(x)\), \(\psi(x)\) und nicht identisch verschwindender Funktion \(\psi(x)\) besagt. In Teil IV dehnt Verf. seine Betrachtungen auf die Flächen \(\sum\) aus, die ein Netz \(R\) mit einer entarteten \textit{Laplace}-Transformierten enthalten (Netz \(\sum\)). Die Untersuchung dieser Flächen steht (nach \textit{Darboux}) im Zusammenhang mit den \textit{Laplace}schen \textit{harmonischen} Gleichungen. Verf. nimmt Gelegenheit, viele auf \textit{Darboux} zurückgehende Ergebnisse über diese Gleichungen neu herzuleiten und zu vervollständigen, insbesondere zwei Typen von Transformationen der Flächen \(\sum\) und der harmonischen Gleichungen hervorzuheben; diese nennt er Transformationen \(F\) und \(\varPhi\). Die Transformation \(F\) leitet sich als besonderer Fall aus einer bekannten Transformation der Flächen \(R\) her, die von \textit{Fubini} (1926; F.~d.~M. 52, 716-717) angegeben worden ist. Bezeichnet man mit \(F_1\) die zu \(F\) \textit{duale} Transformation, so sind die \(\varPhi\)-Transformierten eines Netzes \(\sum\) diejenigen Netze \(\sum\), deren gegebene eine \(F_1\)-Transformierte ist. -- In weiterer Ausdehnung geht Verf. in Teil V dazu über, die Kongruenzen \(R\), die zu einem allgemeinen linearen Komplex (Kongruenzen \(\varXi\)) gehören, und ihre Fokalflächen und -netze zu betrachten (Flächen und Netze \(\varXi\)), insbesondere diejenigen, für die eine \textit{Laplace}-Transformierte wieder eine Kongruenz \(\varXi\) ist (Kongruenzen \(\varXi^*\)), die bereits von \textit{Wilczynski} untersucht worden sind. Unter anderm findet Verf., daß sich unter den projektiv Deformierten eines Netzes \(\varXi^*\) \textit{periodische} Netze \(\varXi^*\) mit lauter geraden Ordnungen befinden; die Anzahl dieser periodischen Netze der Ordnung \(2p\) ist gleich \(\varphi(p)\), wobei \(\varphi\) den \textit{Gauß}schen Indikator (die \textit{Euler}sche zahlentheoretische Funktion) bedeutet. Die Kongruenzen \(\varXi\) (oder besser, ihre Fokalflächen) erhält man mit Hilfe der \textit{Lie}schen Transformation aus den isothermen Flächen, und umgekehrt. Diese Bemerkung gibt dem Verf. Gelegenheit, verschiedene Ergebnisse der konformen Differentialgeometrie festzustellen, die zur Theorie der Netze \(\varXi\) in Beziehung stehen. Im Teil VI schließlich untersucht Verf. weitere besondere \textit{Klassen der Flächen} \(R\): solche, die aus \textit{Darboux-Segre}schen Kurven bestehen -- hier leitet Verf. einen Satz von \textit{O. Bor\({\overset{\circ} {\text{u}}}\)vka} her und gibt die Bestimmung aller projektiv Deformierten der Rotationsflächen an --, und solche mit \textit{gleichen Invarianten}. Die Flächen, die Netze \(R\) mit gleichen Invarianten enthalten, sind die Flächen \(\mathfrak{S}\) und ihre projektiv Deformierten; von dieser Bemerkung aus gelingt es Verf., alle Typen der Flächen \(\mathfrak{S}\) zu bestimmen, die andere projektiv Deformierte zulassen, als die \(\infty^1\) in Teil II der Arbeit untersuchten.