Sur les transformations asymptotiques d'une surface non développable en elle même dans l'espace \(S_3\). (Q576621)

Sind zwei Flächen \(S_1\), \(S_2\) auf asymptotische Parameter \(u\), \(v\) bezogen, so ist damit eine asymptotische (= asymptotische Linien erhaltende) Verwandtschaft zwischen \(S_1\) und \(S_2\) definiert. Sind \[ (\beta_i du^3 + \gamma_i dv^3) \, : \, 2 du \, dv \] die projektiven linearen Elemente von \(S_1\) und \(S_2\), so sind die Ausdrücke \[ r(u,v) = \beta_1 \, : \, \beta_2, \quad S(u,v) = \gamma_1 \, \: \, \gamma_2 \] projektive Invarianten der Verwandtschaft, die eine einfache geometrische Bedeutunghaben (vgl. \textit{Fubini-Čech}, Introduction à la géométrie projective différentielle des surfaces (1931; F.~d.~M. 57\(_{\text{I}}\), 936-937, p. 200-201). Die Verwandtschaft heißt von zweiter Art, falls \(r\) und \(s\) nicht konstant, aber auch nicht unabhängig sind; die Kurven, längs deren \(r\) und \(s\) konstant sind, heißen dann die Charakteristiken der Verwandtschaft (vgl. \textit{Čech}, 1929; F.~d.~M. 55\(_{\text{I}}\), 416-417). Ref. hat in der dort besprochenen Arbeit die Frage nach allen nicht geradlinigen Flächen \(S\) gestellt, die eine stetige Gruppe \(G\) von asymptotischen Verwandtschaften zweiter Art in sich gestatten. \(G\) heißt von erster oder zweiter Gattung, je nachdem in \(G\) zwei Verwandtschaften mit verschiedenen Charakteristiken vorkommen oder nicht. Ref. hat alle Fälle, wo \(G\) von erster Gattung ist, bestimmt. In der vorliegenden Arbeit werden die mindestens zweigliedrigen \(G\) zweiter Gattung bestimmt. Es gibt zehn verschiedene Lösungen.