Point-line correspondences associated with the general ruled surface. (Q576655)

Die Wechselwirkung der Auffassung einer Regelfläche als Gesamtheit von \(\infty^2\) Punkten einerseits, von \(\infty^2\) Ebenen oder \(\infty^1\) Geraden andrerseits darzustellen und demgemäß eine Regelfläche nicht nur auf ihre Eigenschaften in der Umgebung eines Punktes, sondern auch in der Umgebung einer Geraden zu untersuchen, ist der Gegenstand der Arbeit (vgl. \textit{Wilczynski}, Projective differential geometry of curves and ruled surfaces, 1906; F.~d.~M. 37, 620; Verf.; 1924, 1925; F.~d.~M. 50, 477; 51, 528). (1) Vierpunkttangenten \(f_1, f_2\) einer Regelfläche \(S\) treten paarweise auf; jedes Paar ist mit einer Geraden \(g\) von \(S\) assoziiert; die Berührpunkte eines solchen Paares liegen auf \(g\) und sind im allgemeinen verschieden. Der geometrische Ort dieser Tangenten ist eine zweite Regelfläche, die im allgemeinen zwei verschiedene Regelscharen \(F_1\) und \(F_2\) trägt. Die Geraden jeder Schar sind mit denen von \(S\) in einer \((1,1)\)-Korrespondenz. Sind dann ferner \(Q_S\), \(Q_{F_1}\), \(Q_{F_2}\) die Quadriken, die bezüglich \(S\) längs \(g\), \(F_1\) längs \(f_1\) und \(F_2\) längs \(f_2\) oskulieren, so werden zuerst die Gleichungen dieser Quadriken abgeleitet. Man erkennt dann, daß \(Q_S\) und \(Q_{F_1}\) als vollständiges Schnittgebilde die je doppelt zählenden Geraden \(g\) und \(f_1\), \(Q_S\) und \(Q_{F_2}\) \(g\) und \(f_2\) besitzen, und daß \(Q_{F_1}\) und \(Q_{F_2}\) als vollständigen Schnitt die doppelzählende Gerade \(g\) und zwei weitere Geraden haben. Zwischen den Geraden der \(S\), \(F_1\), \(F_2\) besteht also eine \((1,1)\)-Korrespondenz, in der solche Geraden einander entsprechen, die durch denselben Wert des gemeinsamen Parameters gegeben sind (z. B. \(g\), \(f_1\), \(f_2\)). Je drei solche entsprechende Geraden heißen ein \(l\)-\textit{Tripel}. Die Quadriken, die \(S\), \(F_1\), \(F_2\) längs der Geraden eines \(l\)-Tripels oskulieren, heißen ein \(Q\)-\textit{Tripel}. Beide Tripel heißen zueinander \textit{assoziiert}. (2) Es werden dann Punkt-Geraden-Korrespondenzen betrachtet und folgende Sätze erhalten: (a) In der Punkt-Geraden-Korrespondenz, die durch die zweite und dritte Quadrik eines \(Q\)-Tripels bestimmt ist, entspricht jedem Raumpunkt eine durch ihn gehende Gerade und die erste Gerade des assoziierten \(l\)-Tripels. (b) In der Punkt-Ebenen-Korrespondenz, die durch den linearen Komplex bestimmt ist, der eine Regelfläche längs der ersten Geraden eines \(l\)-Tripels oskuliert, entsprechen den Punkten der zweiten und dritten Quadrik des assoziierten \(Q\)-Tripels bezüglich die Berührebenen der dritten und zweiten Quadrik des Tripels. -- Ein dritter Satz faßt die Ergebnisse zusammen. (3) Man kann also gewissen \(\infty^1\) Punkten eine einzige Gerade und gewissen \(\infty^2\) Punkten \(\infty^1\) Geraden entsprechen lassen. Es wird aber jetzt gezeigt, daß nicht \textit{jeden} \(\infty^1\) Punkten eine einzige Gerade und nicht \textit{jeden} \(\infty^2\) Punkten \(\infty^1\) Geraden entsprechen. Die auftretenden allgemeinen Ausnahmen werden jetzt aufgewiesen und in vier Sätzen zusammengefaßt. (4) Zum Schluß werden \textit{Selbstkorrespondenzen} gewisser Flächen betrachtet, wobei interessante geometrische Ergebnisse erhalten werden. (V 5 E.)