Mehrdimensionale Affinrotationsflächen als projektiv-verwandte Reinhardtscher Kreisbereiche. (Q576675)

Man betrachte den Ortsvektor \(\mathfrak{r}\) einer Fläche \(\mathfrak{x}(u_1,u_2)\), ihren Normalvektor \(\mathfrak{n}\) und verlange lineare Abhängigkeit dieser beiden von einem konstanten Vektor \(\mathfrak{a}\). Diese Konstruktion führt auf Rotationsflächen bewegungsinvarianter Natur, wenn \(\mathfrak{n}\) ``gewöhnlicher'' Normalvektor, auf ``Affinrotationsflächen'', wenn \(\mathfrak{n}\) ``Affinnormalvektor'' ist (vgl. Verf., Math. Ann. 98 (1928), 684-696; F.~d.~M. 54, 787; \textit{B. Su}, Japanese Journ. of Math. 5 (1928, 1929); 185-224, 289-294, 337-343; F.~d.~M. 54, 786-787; 55\(_{\text{I}}\), 419, 420). In einer weiteren Mitteilung (vgl. Japanese Journ. of Math. 5 (1928), 85-95; F.~d.~M. 54, 787) hat Verf. seine Untersuchung auf den Fall von Hyperflächen des \((n + 1)\)-dimensionalen Raumes ausgedehnt. Doch ist die Möglichkeit einer Verwendung ``mehrdimensionaler Achsen'' (vgl. die Schlußbemerkung des Ref. im zuletzt genannten Referat) in dieser Arbeit noch außer acht gelassen. Setzt man nunmehr fest, daß alle Affinnormalen der Hyperfläche eine feste \(m\)-dimensionale Ebene \((m \leqq n-1)\) schneiden, und ändert die Definition der Meridiane (Eigenschattengrenzen) sinngemäß ab, so ergibt sich der Typus der Affinrotationshyperfläche \(m\)-ter Art (A. R. H. \(m\)). Verf. behandelt insbesondere den Fall \(m = 2\) im vierdimensionalen Raum, also die A. R. H. 2, deren Affinnormalen sämtlich eine feste zweidimensionale Ebene \(E\) in Punkten eines zweidimensionalen Bereichs \(B\) schneiden, und deren Meridianflächen (Schnitte der Hyperfläche mit den dreidimensionalen Räumen durch \(E\)) Eigenschattengrenzen für die Richtungen der sie schneidenden ``Breitenkurven'' (deren Affinnormalen alle durch einen festen Punkt von \(E\) gehen) sind. Die Untersuchung beschränkt sich auf den Fall nichtgeradliniger Hyperflächen mit reellen Affinkrümmungslinien. Bemerkenswerte Eigenschaften dieser so definierten A. R. H. 2 sind: (1) Die Affinentfernung der Punkte einer Breitenkurve von einem festen Punkt von \(E\) ist konstant. (2) Die zweidimensionalen Tangentenebenen an die Meridianflächen in den Punkten einer Breitenkurve gehen alle durch einen festen Punkt von \(E\); die Breitenkurven sind (wie bei Affinrotationsflächen) Berührungskurven von Kegeln, deren Spitze auf \(E\) liegt. (3) Die Breitenkurven verlaufen in parallelen zweidimensionalen Ebenen. (4) Die Breitenkurven sind ähnliche und ähnlich gelegene Mittelpunktskegelschnitte; ihre Mittelpunkte liegen auf \(E\). (5) Die Breitenkurven sind mit einer Schar \textit{Darboux}scher Kurven identisch. (6) Die Affinkrümmungsradien sind längs einer Breitenkurve konstant. Als besonders interessanten Typus affinrotatorischer Mannigfaltigkeiten betrachtet Verf. sogenannte zweifache A. R. H. 2, d. h. Hyperflächen, deren sämtliche Affinnormalen zugleich zwei feste Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) treffen, welche nur einen Punkt (des vierdimensionalen Raumes) gemeinsam haben. Beachtet man die Definition der sogenannten \textit{Reinhardt}schen Kreisbereiche im analytischen vierdimensionalen Raum der Funktionentheorie zweier komplexer Veränderlichen -- sie werden von allen Ebenen parallel zu den Koordinatenebenen in Kreisen geschnitten -- und betrachtet \(E_1\) und \(E_2\) als komplexe Koordinatenebenen, so ergibt sich: (7) Die zweifachen A. R. H. 2 sind spezielle Projektiv-Transformierte \textit{Reinhardt}scher Kreisbereichränder. Ihre sämtlichen Affinkrümmungslinien sind eben, und zwar verläuft eine Schar in absoluten Ebenen durch das Zentrum \(O\), während die andern Scharen jeweils aus zu den erzeugenden Ebenen \(E_1\), \(E_2\) parallelen Kegelschnitten bestehen, die innerhalb einer Schar einander ähnlich und zueinander ähnlich gelegen sind. Längs jeder Kegelschnittringfläche, welche von einer Schar von Breitenkurven gebildet wird, haben nach (6) alle Affinkrümmungsradien eine feste Größe.