Theory of the relativistic trajectories in a gravitational field of Schwarzschild. (Q576765)

In dieser gründlichen Studie werden die Bahnkurven im \textit{Schwarzschild}schen Gravitationsfeld untersucht, d. h. in einem Gravitationsfeld, dessen Potentiale durch die Koeffizienten des einer ruhenden Punktmasse oder einer kugelförmigen Masse mit gleichförmiger Dichte entsprechenden raumzeitlichen Fundamentaltensors gegeben sind. Die Gestalt dieser Gravitationspotentiale wurde von \textit{A. Einstein} (Sitzungsberichte Akad. Berlin 1914, 1031-1085; 1915, 831-839; 1916, 688-696; F. d. M. 45, 1118 (JFM 45.1118.*)-1120; 46, 1293-1294), \textit{K. Schwarzchild} (Sitzungsberichte Akad. Berlin 1916, 424-434; F. d. M. 46, 1297 (JFM 46.1297.*)-1298) und \textit{H. Weyl} (Physikal. Z. 20 (1919), 31-34; Analen d. Physik (4) 59 (1919), 185-188; F. d. M. 47; 782-783, 800) angegeben. Die Berechnung der Bahnkurven des Problems, d. h. der geodätischen Linien im vierdimensionalen raumzeitlichen Kontinuum einer solchen Metrik, ist neben den bisher genannten Autoren insbesondere noch von \textit{Droste} (Proceedings Amsterdam 17 (1915), 998-1011; F. d. M. 46, 1331 (JFM 46.1331.*)), \textit{A. R. Forsyth} (Monthly Notices (2) 81 (1921), 2-11), \textit{Levi-Civita} (Rendiconti Accad. d. L. Roma \(26_1\) (1917), 381-391, 458-470, 519-531; \(26_2\) (1917), 307-317; 27, (1918), 3-12; \(27_2\) (1918); 183-191, 220-229, 240-248, 283-292, 343-351; \(28_1\), (1919), 3-13, 101-109; F. d. M. 46, 1318 (JFM 46.1318.*)-1324; 47, 798-799), \textit{Palatini} (Nuovo Cimento (6) 14 (1917), 12-54; (7) 26 (1923), 5-24; F. d. M. 47, 1001 (JFM 47.1001.*); 49, 634), \textit{Morton} (Philos. Magazine (6) 42 (1921), 511-523; F. d. M. 48, 1329 (JFM 48.1329.*)) und \textit{Whittaker} (Treatise on the analytical dynamics (3. ed. 1927; F. d. M. 53, 732 (JFM 53.0732.*)), Kap. XV) durchgeführt worden. Verf. beweist zunächst die Äquivalenz der Variationsprobleme \[ \delta \int ds = 0, \qquad ds^2 = \sum_{\alpha, \beta=1}^4 g_{\alpha\beta} \, dx^\alpha \, dx^\beta, \] \[ \delta \int T \,d\sigma = 0, \qquad T = \frac 12 \sum_{\alpha, \beta = 1}^4 g_{\alpha\beta} \, \frac{dx_\alpha}{d\sigma} \frac{dx_\beta}{d\sigma} \] unter der zusätzlichen Bedingung, daß nach Bestimmung der \(x_i\) als Funktionen von \(\sigma\) durch Behandlung des zweiten Variationsproblems \textit{ohne} einschränkende Nebenbedingung durch die Vorschrift \[ g_{\alpha\beta} \frac{dx^\alpha}{d\sigma} \frac{dx^\beta}{d\sigma} = C^2 \] eine Konstante \(C\) als Funktion der Integrationskonstanten bestimmt und schließlich mit dem so bestimmten Wert \(C\) die Beziehung \(s = C\sigma\) angesetzt wird. Insbesondere kann man noch die Werte \(C= 1\), \(C = 0\) vorschreiben (für \(C = s\) liefern die so entstehenden Trajektorien die Lichtisotropen im raumzeitlichen Kontinuum). Sodann wird das Integrationsproblem auf die Behandlung des Systems \[ \frac{h_1}{\alpha^2} \, ds = \frac{du}{u^2\sqrt{U(u)}}, \quad U(u) = u^3 - u^2 + \frac{\alpha^2}{h_1^2} u + \frac{\alpha^2(h_3^2 - 1)}{h_1^2}, \] \[ 0 = \frac{du}{\sqrt{U(u)}}, \quad 0 = \frac{du}{(1-u) u^2\sqrt{U(u)}} - \frac{h_1 c_0}{\alpha^2 h_3}\, dt \] zurückgeführt, worin \(c_0\), \(\alpha\) Konstanten des \textit{Schwarzschild}schen Linienelements, \(h_1\) und \(h_3\) Integrationskonstanten und \(s\) und \(t\) Eigenzeit und Koordinatenzeit bedeuten \(\left( u = \dfrac{\alpha}{r}\right)\). Für die Integration wird die Substitution \[ \wp y = -\frac 13, \quad \wp z = \frac 23 \] (\(\wp\) \textit{Weierstraß}sche elliptische Funktion) mit Erfolg verwendet. Für die Verteilung der Wurzeln von \(U(u) = 0\) hat man gemäß \(u = 0\) und \(u = 1\) vier verschiedene Fälle zu unterscheiden. Im Falle reeller Wurzeln gilt \[ (e_3 + \frac 13)< (e_2 + \frac 13) < (e_1 + \frac 13). \] Für nichtausgeartete elliptische Funktionen ergeben sich folgende Bewegungstypen: \(\begin{matrix}\l & \l \\ \text{quasieelliptischer Typus: } & \dfrac{\alpha}{e_2 + \frac 13} \leqq r \leqq \dfrac{\alpha}{e_3 + \frac 13}, \\ \text{quasiparabolischer Typus: } & \dfrac{\alpha}{e_2 + \frac 13} \leqq r \leqq \infty, \\ \text{quasihyperbolischer Typus: } & \dfrac{\alpha}{e_2 + \frac 13} \leqq r < \infty, \\ \text{pseudoelliptischer Typus: } & \alpha < r \leqq \dfrac{\alpha}{e_1 + \frac 13}, \\ \text{pseudoparabolischer Typus: } & \alpha < r \leqq \infty, \\ \text{pseudohyperbolischer Typus: } & \alpha < r < \infty. \end{matrix}\) Für die ausgearteten elliptischen Funktionen ergeben sich die weiteren Bewegungstypen: \(\begin{matrix} \l & \l \\ \text{quasielliptischer Spiraltypus: } & \dfrac{\alpha}{e_A + \frac 13} < r \leqq \dfrac{\alpha}{e_3 + \frac 13}, \quad e_A = e_1 = e_2; \\ \text{quasiparabolischer Spiraltypus: } & \dfrac{\alpha}{e_A + \frac 13} < r \leqq \infty, \\ \text{quasihyperbolischer Spiraltypus: } & \dfrac{\alpha}{e_A + \frac 13} < r < \infty, \\ \text{Pseudospiralentypus: } & \alpha < r <\dfrac{\alpha}{e_B + \frac 13}, \quad e_B = e_2 = e_3; \\ \text{Pseudokreistypus: } & r = 3\alpha, \quad e_1 = e_2 = e_3 = 0; \\ \text{Kreistypus: } & r = \dfrac{\alpha}{e_B = \frac 13}. \end{matrix} \) Alle diese Bahnkurventypen werden einzeln genauestens analytisch, graphisch und numerisch untersucht, ausgedeutet und zusammengestellt. Vgl. dazu noch \textit{L. Infeld} (Physikal. Z. 32 (1931), 110-112; F. d. M. \(57_{\text{I}}\), 1182), \textit{J. L. Synge} (Math. Ann. 99 (1928), 738-751; F. d. M. 54, 758 (JFM 54.0758.*)), \textit{W.H.McCrea} \& \textit{G. C. McVittie} (Monthly Notices 91 (1930), 128-133; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 790).