A ``cubical'' universe. (Q576788)

\textit{Einstein} hat den Fall eines raumzeitlichen Kontinuums behandelt, welches sich im Schnitt \(t = \) const auf die dreidimensionale Hypersphäre \[ x^2+y^2+z^2+w^2-a^2 = 0 \tag{\(^*\)} \] reduziert. An Stelle von (\(^*\)) studiert Verf. die Hyperfläche \[ f(x,y,z,w)\equiv x^{2n} + y^{2n} + z^{2n} + w^{2n} - a^{2n} = 0 \tag{\(^{**}\)} \] und betrachtet sie entsprechend als räumlichen Schnitt einer zylindrischen vierdimensionalen Mannigfaltigkeit in einem euklidischen fünfdimensionalen Hilfsraum der Veränderlichen \(x, y, z, w, t\). Der ``Weltraum'' (\(^{**}\)) hat merkwürdige Eigenschaften: er ist überall konvex und liegt ganz im Innern eines Kubus von den Ecken \[ (\pm a, \pm a, \pm a, \pm a); \] er ist ferner mit ``Ecken'' behaftet, d. h. mit ausgezeichneten Punkten \[ (\pm2^{-\frac{1}{n}}a, \pm2^{-\frac{1}{n}}a, \pm2^{-\frac{1}{n}}a, \pm2^{-\frac{1}{n}}a), \] welche mit wachsendem \(n\) in die Eckpunkte des vierdimensionalen Würfels streben. Berechnet man für diese ``Welt'' (bzw. für ihren räumlichen Teil) die Hauptkrümmungsradien \(\dfrac{1}{k_i}\) (\(i = 1, 2, 3, 4\)), so ergibt sich zunächst \(k_4 = 0\). Daher verschwindet auch die Komponente \(G_{44}\) des symmetrischen verjüngten Krümmungstensors, und man erhält aus dem \textit{Einstein}schen Gravitationsgesetz die einfache Beziehung \[ \begin{gathered} 8\pi\varrho = \dfrac{1}{2}G, \\ G = \dfrac{1}{(\sum'x^{4n-2})^2}(2(2n - 1){\textstyle \sum'}x^{4n-2}(y^{2n 2}z^{2n - 2} + y^{2n - 2}w^{2n - 2} + z^{2n - 2}w^{2n - 2})), \end{gathered} \] wobei durch \(\varrho\) die Materiedichte gegeben und gemäß \(\sum'\) über \(x, y, z, w\) zu summieren ist. Die Materie erscheint demnach in den ``Ecken'' konzentriert, und diese Konzentration wächst mit dem Exponenten \(n\). Nunmehr berechnet Verf. die Totalmasse \(M\) durch Integration über das dreidimensionale räumliche Volumelement und erhält für \(M\) und die mittlere Dichte \(\bar{\varrho}\) die Werte \[ M = \dfrac{1}{\pi}12,8a, \quad \bar{\varrho} = \dfrac{1,06}{M^2}, \] welche also (wenigstens approximativ) von \(n\) unabhängig werden. Neben diesen und einigen weiteren guten Eigenschaften seines Weltmodells vergißt Verf. jedoch keineswegs, auch dessen Schwächen auseinanderzusetzen: das Auftreten negativer Drucke und die Vernachlässigung der kosmischen \(\lambda\)-Konstanten. (VIII 2 C.)