Sur une opération sur les familles d'ensembles. (Q577917)

In der Arbeit wird folgendes Problem von \textit{Saks} gelöst: \(F\) sei eine gegebene Mengenfamilie, \(\varGamma(F)\) bezeichne die Familie aller Mengen \(E\) von der Form \[ E=\sum E_{\alpha_1}E_{\alpha_1,\alpha_2}E_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}\dots, \] wo die Summierung über alle unendlichen Folgen von Zahlen 0 und l erstreckt wird und wo \(E_{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k}\) für jedes endliche System \(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_k\) von Zahlen 0 und 1 der Familie \(F\) angehört. Was kann über die Operation \(\varGamma(F)\) behauptet werden? -Der Verf. gibt folgende Identität an: \[ \sum E_{\alpha_1}E_{\alpha_1,\alpha_2}E_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}\dots= \prod\limits_{n=1}^\infty\sum_{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} E_{\alpha_1}E_{\alpha_1,\alpha_2}E_{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} \] aus welcher folgender Satz abgeleitet wird: ``Wenn \(F\) eine Mengenfamilie ist, bei der die Summe und das Produkt zweier Mengen aus \(F\) wiederum zu \(F\) gehören, dann ist die Familie \(\varGamma(F)\) mit \(P(F)\) identisch, wo \(P(F)\) die Familie aller abzählbaren Produkte der Mengen aus \(F\) ist.''