Sur les ensembles hyperboreliens. (Q577925)

Eine lineare Menge wird hyperborelsche Menge genannt, wenn sie aus den Intervallen durch höchstens \(\aleph_1\) Additionen und höchstens \(\aleph_0\) Multiplikationen erzeugt werden kann; die beiden Operationen können in behebiger Folge ausgeführt werden. (Wenn also die Kontinuumhypothese richtig wäre, dann wäre jede lineare Menge eine hyperborelsche Menge.) Verf. beweist den Satz, daß jede hyperborelsche Menge, welche keinen perfekten Teil enthält, von der Mächtigkeit \(\leqq\aleph_1\) ist. Der Beweis beruht auf einer Anleihe bei den hypersuslinschen (hyper-\(A\)-) Mengen, welche eine Verallgemeinerung der \textit{Suslin}schen (\(A\)-) Mengen bilden: Es sind nämlich die stetigen Bilder der hyperborelschen Mengen. Die Klasse aller hyper-\(A\)-Mengen ist eine von denjenigen Klassen, welche den drei folgenden Bedingungen genügen: (1) Jedes Intervall gehört zu der Klasse \(K\), (2) Jede Summe von \(\aleph_1\) Mengen aus \(K\) gehört zu \(K\), (3) Jedes Produkt von \(\aleph_0\) Mengen aus \(K\) gehört zu \(K\). Die Klasse aller hyperborelschen Mengen ist die kleinste von den Klassen \(K\) mit den Eigenschaften 1-3.