Sur une manière de différencier les fonctions cycliques d'une forme donnée. (Q577958)

Zur Untersuchung von zyklischen \textit{Steiner}schen Systemen hat \textit{S. Bays} (Commentarii math. Helvetici 3 (1931), 22-41; s. vorstehendes Referat) den folgenden Satz bewiesen: \(n\) sei eine Primzahl, \(f(x_1, x_2,\dots, x_n)\) eine zyklische Funktion, d. h. \(f\) bleibe unverändert bei zyklischer Vertauschimg der Indices. Geht \(f(x_1, x_2,\dots, x_n)\) durch eine Permutation der Indices in \(f^*(x_1, x_2,\dots, x_n)\) über, so läßt sich die Transformation schon erreichen durch eine Permutation der metazyklischen Gruppe \(\mathfrak M\). Verf. zeigt hier, daß dieser Satz nicht mehr für den Fall einer Primzahlpotenz \(n\) gilt, im Gegensatz zu einer Vermutung von \textit{S. Bays}. Denn im Falle \(n\geqq8\) enthält die metazyklische Gruppe \(\mathfrak M\) außer der von \(\binom\nu{\nu+1}\) erzeugten Untergruppe \(\mathfrak H\) noch wenigstens eine in der symmetrischen Gruppe ähnliche Gruppe zu \(\mathfrak H\). Jedoch kann der folgende Satz für \(n = p^k\) ausgesprochen werden: \(\mathfrak M\) enthalte neben \(\mathfrak H\) noch die Gruppen \(P_\varrho^{-1}\mathfrak H P_\varrho\) (\(\varrho = 1\), 2,\dots, \(r\)). Man hat dann im obigen Satze nur \(\mathfrak M\) durch den Komplex \(\mathfrak M+P_1^{-1}\mathfrak M+P_2^{-1}\mathfrak M+\cdots+P_r^{-1}\mathfrak M\) zu ersetzen.