Généralisation d'un théorème de Gauss. (Q578018)

Zur Vorbereitung des Gegenstandes wird aus dem \textit{Thue}schen Satz gefolgert: Sind \(P_0(x)\),\dots, \(P_n(x)\) und \(Q (x) \neq0\) Polynome mit ganzen Koeffizienten und hat, \(\sum\limits_{i=0}^{n}P_i(x_1)z^i\) für passendes \(x_1\) nur einfache Wurzeln, so gibt es zu jedem ganzen \(r\geqq0\) nur endlich viele Paare von Polynomen \(X(x)\), \(Y (x)\) mit ganzen Koeffizienten, vom (scheinbaren) Grade \(r\) und mit \[ \sum\limits_{i=0}^{n}P_i(x)X^{n-i}(x)Y^i(x) = Q(x). \] Aus dem \textit{Thue-Landau-Ostrowski}schen Satz ergibt sich nun entsprechend: Sind \(P_1(x)\), \(P_2(x)\), \(P_3(x)\) und \(Q (x)\neq0\) Polynome mit ganzen Koeffizienten, \[ P_2^2(x)-4P_1(x)P_3(x)\neq0, \] so gibt es zu je zwei ganzen Zahlen \(n\geqq3\) und \(r\geqq0\) nur endlich viele Paare von Polynomen \(X(x)\), \(Y (x)\) mit ganzen Koeffizienten, vom Grade \(r\) und mit \[ P_1(x) X^2 (x) + P_2(x)X(x) + P_3(x) = Q (x) Y^n (x); \] anders ausgedrückt: Durchläuft \(X(x)\) eine Folge von Polynomen vom Grade \(r\) und mit ganzen Koeffizienten, wächst ferner der Maximalbetrag der Koeffizienten von \(X(x)\) über alle Grenzen (d. h. tritt kein \(X(x)\) unendlich oft auf) und hat dabei jeweils \[ P_1(x) X^2 (x) + P_2(x)X(x) + P_3(x) \] die Gestalt \(T (x) R^n(x)\), wo \(T (x)\) und \(R (x)\) ebenfalls Polynome mit ganzen Koeffizienten sind, so wächst auch der Maximalbetrag der Koeffizienten von \(T (x)\) über alle Grenzen (d.h. kein \(T (x)\) tritt unendlich oft auf). In der zweiten Fassung ist dieser Satz ein Analogon zu dem auf eine \textit{Gauß}sche Vermutung zurückgehenden, von \textit{Pólya} mit denselben Mitteln bewiesenen Satze, daß für je drei ganze Zahlen \(a\), \(b\), \(c\) mit \(b^2-4ac\neq0\) der größte Primteiler von \(ay^2 + by + c\) mit \(| y|\) über alle Grenzen wächst. (III 6.)