Über die mittlere Anzahl der Produktdarstellungen der Zahlen. (Q578154)

Ist \(f (n)\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Produkt von Zahlen \(> 1\), so gilt \[ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{f(n)}{n^s}=\frac1{2-\zeta(s)} \tag{*} \] für \(\sigma > \varrho\), wo \(\varrho\) die einzige positive Wurzel der Gleichung \(\zeta(\varrho) = 2\) ist. (Offenbar ist \(\varrho > 1\), und nach den Gramschen Tafeln ist \(1,7 < \varrho < 1,8\).) Für \(\sigma > \varrho\) ist nämlich \[ |\zeta(s)-1|=\left|\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac1{n^s}\right|< \sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac1{n^\varrho}=\zeta(\varrho)-1=1 \] und daher \[ \frac1{2-\zeta(s)}=\frac1{1-\big(\zeta(s)-1\big)}= \sum\limits_{k=0}^{\infty}(\zeta(s)-1)^k. \] Hierin ist (zunächst für \(k > 0\), aber nach zweckmäßiger Festsetzung auch für \(k = 0\)) \[ (\zeta(s)-1)^k=\sum\limits_{n_1=2}^{\infty}\sum\limits_{n_2=2}^{\infty}\cdots \sum\limits_{n_k=2}^{\infty}\frac1{(n_1n_2\dots n_k)^s}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{f_k(n)}{n^s}, \] wo \(f_k(n)\) die Anzahl der Darstellungen von \(n\) als Produkt von \(k\) Faktoren \(\geqq2\) bedeutet. Wegen \[ f(n)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}f_k(n) \] ist damit (*) bewiesen. Das Ziel der Arbeit ist nun, die summatorische Funktion \[ F(n) = f(1) + f(2) +\cdots+ f(n) \] asymptotisch zu berechnen. Nach den üblichen Methoden der analytischen Zahlentheorie muß dazu wegen (*) zunächst \(2-\zeta(s)\) auf der Geraden \(\sigma = \varrho\) nach unten abgeschätzt werden. Das führt der Verf. gleich in etwas allgemeinerer Weise durch mit dem Ergebnis \[ |\zeta(s)|\leqq\zeta(\sigma)-c_1t^{-\alpha_1\tfrac{\sigma-1}{\log\log t}} \tag{**} \] für \(\Re(s) = \sigma > 1\), \(|t|\ge 3\); \(\alpha_1\) kann jede Zahl \(>\log 2\) sein, und \(c_1\) ist eine positive, höchstens von \(\sigma\) und \(\alpha_1\) abhängende Zahl. Zum Beweis wird die Weylsche Approximationsmethode in der Landauschen Darstellung benutzt. Aus (*) folgt nach einer bekannten Formel \[ \sum\limits_{n=1}^{x}f(n)\log\frac xn=\frac1{2\pi i} \int\limits_{2-i\infty}^{2+i\infty}\frac{x^s}{s^2}\frac{ds}{2-\zeta(s)}. \tag{***} \] Nachdem vorher aus (**) eine untere Abschätzung von \(|2 - \zeta(s)|\) auch in einem gewissen Gebiet links von \(\sigma = \varrho\) abgeleitet worden ist, wird in (***) der Integrationsweg in der üblichen Weise über den Pol \(s=\varrho\) hinaus nach links verschoben. Der neue Integrationsweg ist ein geeigneter Streckenzug. Die Berücksichtigung des Residuums und die Abschätzung des Integrals auf dem neuen Integrationsweg geben dann die Formel \[ \sum\limits_{n=1}^{x}f(n)\log\frac xn=\frac{x^\varrho}{\varrho^2R}+ O\big(x^\varrho(\log x)^{-2\alpha\log\log\log x}\big). \] Hiervon wird in elementarer Weise der Übergang zu dem Schlußergebnis \[ F(x)=\sum\limits_{n=1}^{x}f(n)=\frac{x^\varrho}{\varrho R}+ O\big(x^\varrho(\log x)^{-\alpha\log\log\log x}\big) \] bewerkstelligt. Es bedeutet hier \(R = - \zeta'(\varrho)\), und \(\alpha\) ist eine beliebige Zahl kleiner als \[ \frac1{2 (\varrho - 1) \log 2}. \]