Question 784. Lösung von T. Vijayaraghavan und G. N. Watson. (Q578172)

Die Aufgabe lautet: ``\(F(x)\) bedeute den gebrochenen Teil von \(x\) (z. B. \(F(\pi) = 0,14159\dots\)), \(N\) sei positiv ganz. Zu zeigen: Für \(N\to\infty\) ist \[ \begin{aligned} &\liminf NF(N\sqrt2)=\frac1{2\sqrt2},\quad \liminf NF(N\sqrt3)=\frac1{\sqrt3},\\ &\liminf NF(N\sqrt5)=\frac1{2\sqrt5},\quad \liminf NF(N\sqrt6)=\frac1{\sqrt6},\\ &\liminf NF(N\sqrt7)=\frac3{2\sqrt7}; \end{aligned} \tag{1} \] \[ \liminf N(\log N)^{1-p}F\left(Ne^{\tfrac2n}\right)=0, \tag{2} \] wenn \(n\) ganz und \(p\) positiv ist; ferner zu zeigen, daß in (2) \(p\) nicht null sein darf.''