The algebra of many-valued quantities. (Q578185)

Als mehrwertige Größen (Bezeichnung: kleine lateinische Buchstaben \(a,\, b,\,\ldots\)) werden von der Verf. Zahlenmengen bezeichnet, mit denen nach Regeln gerechnet wird, die den üblichen Regeln für das Rechnen mit Zahlen nachgebildet sind, und zwar werden folgende Verknüpfungen und Bezeichnungen eingeführt: \(\overline a\), \(\underline a={}\)obere, untere Grenze aller Elemente von \(a\); \(\beta_a = \overline a - \underline a ={}\)Breite oder Spanne von \(a\); \(a_+\), \(\underline a={}\)Menge der positiven, negativen Elemente von \(a\); \(| a | ={}\)absoluter Betrag von \(a = {}\)Menge der Zahlen \(|\alpha|\), wo \(\alpha \in a\); \(- a\), \(\dfrac1a = {}\)Menge der Zahlen \(-\alpha\), \(\dfrac1\alpha\), wo \(\alpha\in a\); Grenzwert von \(a\) ist der Grenzwert jeder Folge, die nur mit Elementen aus \(a\) gebildet ist; \leavevmode \boxed a\({}=\text{``frame''} = {}\)abgeschlossene Hülle von \(a\); \(a = b\), die Zahlenmengen stimmen überein; \(a \subset b\), \(a\) ist Untermenge von \(b\); \(a < b\), zu jedem \(\alpha\in a\) gibt es in \(b\) ein \(\beta > \alpha\) und zu jedem \(\beta\in b\) in \(a\) ein \(\alpha < \beta\); \(a \nleqq b\), es ist ein \(\alpha > {}\)jedes \(\beta\) oder ein \(\beta <{}\)jedes \(\alpha\); \(a\leqq b\), jedes \(\alpha\) ist \(\leqq\) ein \(\beta\) und jedes \(\beta\geqq{}\)ein \(\alpha\); \(a \not<b\), wenn ein \(\alpha\geqq{}\)jedes \(\beta\) oder ein \(\beta \leqq{}\)jedes \(\alpha\) ist; \[ \left.\begin{matrix} a\pm b\\ ab\\ \noalign{\vskip1.0ex} \dfrac ab\end{matrix}\right\} \begin{matrix} \text{Menge}\\ \text{und}\\ \text{Zahlen}\end{matrix} \left\{\begin{matrix} \alpha\pm\beta\\ \alpha\beta\\ \noalign{\vskip1.0ex} \dfrac\alpha\beta\end{matrix}\right.; \] \(a\,\raise0.3ex\hbox{-}\kern-0.45em \smile\kern-0.45em\raise0.3ex\hbox{-}\,b = {}\)Vereinigungsmenge (``union'') von \(a\) und \(b\); \(a\kern0.4em\)\raise0.45ex\hbox{\(\circ\)}\kern-0.75em\lower0.2ex\hbox{\(\frown\)}\( \, b = {}\)Durchschnitt (``link'') von \(a\) und \(b\); \(\mathop{\text{(lim)}}\limits_{m\to\infty} a_m ={}\)Menge der Grenzwerte (Limes, oberer und unterer Limes) aller Folgen \(\{\alpha_m\}\), bei denen \(\alpha_m \in a_m\) ist. Weiter werden noch mehrfache Folgen und allgemeinere Grenzwerte betrachtet. Für diese Begriffe wird eine Reihe von Verknüpfungsregeln aufgestellt, für die auf die Arbeit selber verwiesen wird.