Der Algorithmus des arithmetisch-geometrischen Mittels für Quaternionen. (Q578221)

Die Anfangselemente des Algorithmus seien die Quaternionen \(\alpha_0\), \(\beta_0\). Das Schema des Algorithmus ist: \(\alpha_{n+1} = \frac12 (\alpha_n + \beta_n)\), \(\beta_{n +1}= \sqrt{\alpha_n\beta_n}\), \(\sqrt{\beta_n\alpha_n}\), (\(n = 0,\, 1,\, 2,\,\ldots\)). Verf. beweist mit Hilfe einer Methode von \textit{L. v. Dávid} den folgenden Satz: Bedeute \[ \begin{pmatrix} \alpha_0\alpha_1\ldots\alpha_n\ldots\\ \beta_0 \beta_1\ldots\beta_n\ldots \end{pmatrix} \] eine beliebige Matrix des Algorithmus, dann ist \(\lim\limits_{n=\infty} \alpha_n = \lim \beta_n = \mathfrak M\). \(\mathfrak M\) hängt von \((\alpha_0, \beta_0)\) und von der Wahl der Matrix ab. Also ist \(\mathfrak M\) eine abzählbar unendlich vielwertige Funktion von \(\alpha_0\), \(\beta_0\); ihre Werte haben von null und voneinander verschiedene Normen.