Sur une classe de formules d'interpolation. (Q578358)

\(f(\theta)\) sei eine stetige Funktion mit der Periode \(2\pi\); bedeuten \(m\) und \(h\) ganze Zahlen (\(0\leqq h \leqq m\)) und setzt man \(\theta_k=\dfrac{2k\pi}{2m+1}\) für \(k= 0, 1,\ldots,2m\), so stellt die Summe \[ P_n(\theta)=\dfrac 1{(2m+1)(2h+1)} \sum_{k=0}^{2m} \dfrac{\sin \dfrac{2m+1}2(\theta-\theta_k) \cdot \sin \dfrac{2h+1}2 (\theta-\theta_k)}{\left(\sin \dfrac{\theta-\theta_k}2\right)^2} \cdot f(\theta_k) \] ein trigonometrisches Polynom von der Ordnung \(n=m+h\) dar, das den Bedingungen \(P_n(\theta_k) = f(\theta_k)\) genügt. Verf. zeigt, daß das so gebildete Interpolationspolynom \(P_n(\theta)\) stets gegen \(f(\theta)\) konvergiert, wenn \(h\) und \(m-h\) so nach Unendlich streben, daß \(\dfrac{2m+1}{2h+1}\) beschränkt bleibt. Der Beweis stützt sich auf die Ungleichung \[ |P_n(\theta)| \leqq \sqrt{\frac {2m+1}{2h+1}}\,\cdot \operatorname{Max}|f(\theta)| \] und auf die Tatsache, daß \(P_n(\theta)\) identisch gleich \(f(\theta)\) ist, falls \(f(\theta)\) ein trigonometrisches Polynom \((m-h)\)-ter Ordnung ist. Ähnliche Ergebnisse für die Interpolationspolynome \[ P_n^*(\theta)=\frac 1{4mh} \sum_{k=0}^{2m-1} \frac{\sin m\left(\theta - \dfrac{k\pi}m\right) \sin h\left(\theta -\dfrac{k\pi}m\right)}{\sin^2\left(\dfrac \theta 2 \dfrac{k\pi}{2m}\right)}\, \cdot f\left(\frac {k\pi}m\right). \] Im zweiten Teil wird folgender Satz bewiesen: Erreicht das trigonometrische Polynom \(n\)-ter Ordnung \(S_n(\theta)\) sein absolutes Maximum \(M\) im Intervall \((0,\alpha)\), wo \(\alpha < \dfrac \pi n\) ist, so besteht die Ungleichung \[ M\leqq \frac 1{\sin n\alpha}\sqrt {S_n^2(0)+S_n^2(\alpha) -2S_n(0)S_n(\alpha)\cos n\alpha}, \] wobei das Gleichheitszeichen für das Polynom \[ S_n(\theta) = \frac 1{\sin n\alpha}(S_n(\alpha)\sin n\theta + S_n(0)\sin n(\alpha-\theta)) \] gilt.