On polar singularities of power series and of Dirichlet series. (Q578395)

Es handelt sich um Bemerkungen zu dem folgenden, aus einer früheren Arbeit des Verf. (1930; JFM 56.0890.*) zitierten Satz: Satz A: Es sei \(\omega(u)\) eine reelle Funktion, definiert für \(u\geqq 1\), mit der endlichen Zahl \(W(x)\) von Zeichenwechseln, wenn \(u\) von 1 bis \(x\) läuft. Es werde ferner angenommen, daß das Integral \[ \int\limits_1^\infty \omega(u) u^{-s}\,du = \varPhi(s) \] für gewisse Werte von s konvergiere und daß die so definierte Funktion \(\varPhi(s)\) in einer gewissen Halbebene \(\Re (s) > 1\) meromorph sei. Wenn dann \(W(x)=O(\log x)\), so gibt es die folgenden beiden Möglichkeiten: Entweder ist \(\varPhi(s)\) regulär für \(\Re(s) > b\), oder es besitzt einen Pol \(\beta + i\gamma\) mit maximaler Abszisse ß, und es ist \[ O\leqq \gamma \leqq \pi\varlimsup_{x\to \infty} \frac{W(x)}{\log x}. \] Der erste Teil der Arbeit geht von der Beziehung \[ \varGamma(s)D(s) = \int\limits_0^\infty P(e^{-x})x^{s-1}\,dx \] zwischen der \textit{Dirichlet}schen Reihe \[ D(s) = a_11^{-s} + a_2 2^{-s} + \cdots + a_n n^{-s} + \cdots \] und der Potenzreihe \[ P(z) = a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n + \cdots \] aus. Anstatt der Anzahl der Wurzeln von \(P(z)\) ungerader Ordnung jedoch wird in Satz I die Anzahl der Wurzeln der Abschnittspolynome \[ f_n(x) = a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \] zwischen 0 und 1 in einer Konsequenz aus Satz A in Beziehung zu dem Regularitätsverhalten von \(\varGamma(s)D(s)\) gebracht. Eine Anwendung auf \(1/\zeta(s)\) gibt den merkwürdigen Satz, daß die Anzahl der reellen Wurzeln zwischen 0 und 1 des Polynoms \[ \mu(1) x + \mu(2) x^2 + \mu(3) x^3 + \cdots + \mu(n) x^n \] gewiß nicht \(o(\log n)\) ist. Im zweiten Teil beweist Verf. einige Verallgemeinerungen von \textit{Sturm}schen und \textit{Hurwitz}schen Sätzen über Vorzeichenwechsel trigonometrischer Polynome, vor allem den folgenden Satz II: Es seien \(c_1\), \(c_2\), \(c_3\), \dots, \(\gamma_1\), \(\gamma_2\), \(\gamma_3\), \dots, \(\delta_1\), \(\delta_2\), \(\delta_3\), \dots reelle Zahlen, \[ |c_1|+|c_2|+|c_3|+ \cdots \quad \text{konvergent}, \quad c_1 \neq 0, \quad 0 < \gamma_1 < \gamma_2 < \gamma_3< \cdots, \] und die reelle Funktion \(g(x)\) sei stetig für \(x > 0\) und erfülle \[ g(x)= O(e^{-\alpha x}), \tag \(^*\) \] wenn \(x\) nach \(\infty\) strebt, mit einer positiven Konstante \(\alpha\). Dann wechselt die Funktion \[ f(x)=g(x) + c_1 \cos(\gamma_1 x + \delta_1) + c_2 \cos (\gamma_2 x_2 + \delta_2) + \cdots \] wenigstens \[ \frac{\gamma_1 t}{\pi}-A \] mal das Zeichen, wenn \(x\) von 0 nach \(t\) läuft, wo \(A\) unabhängig von \(t\) ist. (Eine Fußnote am Ende der Arbeit bemerkt ohne Beweis, daß statt der Bedingung \((^*)\) auch schon \(g(x)=o(1)\) hinreichend ist.) Der Beweis wird durch eine wiederholte Anwendung des \textit{Rolle}schen Theorems erbracht. Satz II sowohl als Satz A werden dann auf die Zeichenwechsel von \[ \sum_{n=1}^\infty \{\varLambda(n)-1\}e^{-ny}, \] für \(y > x\) bei \(x \to 0\) angewendet. Dabei wird Satz II mit der \textit{Riemann}schen Hypothese zusammen benutzt, während Satz A ein allerdings geringeres Resultat auch ohne die \textit{Riemann}sche Hypothese liefert. Im dritten Teil endlich wird die Zeichenwechselbedingung von Theorem A sozusagen ins Diskontinuierliche übertragen, nämlich der folgende Satz bewiesen: Satz III: Die Potenzreihe \[ f(z)=a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots + a_nz^n + \cdots \] mit reellen Koeffizienten \(a_0\), \(a_1\), \(a_2\), \dots habe den Konvergenzradius 1. \(f(z)\) möge nur Pole und keine andern Singularitäten auf dem Kreise \(|z| = 1\) haben; dann muß \(f(z)\) (da die \(a_n\) reell sind) einige Pole auf dem abgeschlossenen oberen Halbkreise haben. Unter den Polen von größter vorkommender Ordnung sei \(e^{i\gamma'}\) am nächsten am Punkt 1 und \(e^{i\gamma''}\) am weitesten entfernt von 1 (\(0 \leqq \gamma' \leqq \gamma'' \leqq \pi\)). Die ersten \(n + 1\) Koeffizienten mögen \(V_n\) Zeichenwechsel aufweisen (\(0 \leqq V_n \leqq n\)). Dann gilt: \[ \frac{\gamma' n}\pi - A < V_n < \frac{\gamma'' n}\pi + A \] mit einem von \(n\) unabhängigen \(A\) für \(n = 1, 2, 3, \ldots\).