Généralisation d'un théorème sur les fonctions holomorphes dans un demi-plan. (Q578428)

Verf. deutet an, daß sich vermittels der in einer früheren Arbeit (1931; JFM 57.0358.*) entwickelten Methode auch die folgenden Sätze beweisen lassen: Es seien \(F(z)\) und \(\varTheta(z)\) (\(z = x + iy\)) in \(x \geqq 0\) regulär, und es sei \[ \varlimsup_{x\to \infty} \frac{\log|F(x)|}x=d > 0, \;\;d<\infty, \tag{1} \] \[ \lim_{x\to \infty}\frac{\log|\varTheta(x)|}x=l<d, \quad |\varTheta(z)|>r>0, \;x\geqq 0, \tag{2} \] \[ \left|\frac{F^{(n)}(iy)}{\varTheta(i\tau y)}\right| < m_n, \quad 1\leqq \tau < \infty, \quad -\infty < y < \infty. \tag{3} \] Dann ist \[ \varliminf \root n \of {m_n} > 0. \tag{4} \] Nimmt man an, daß \[ |F(z)| < Me^{\varkappa x}, \tag{5} \] und setzt man \[ |F^{(n)}(x_n + iy)|< m_n(x_n) \quad (- \infty < y < \infty, \quad x_n \geqq x_{n-1} \geqq 0), \tag{6} \] so ergibt sich noch: Aus (1), (5) und (6) folgt \[ \varliminf \root n \of {\frac{m_n(x_n)}{\frac 12 + x_n}} > 0 \]