Sur la formule de M. H. Villat résolvant le problème de Dirichlet dans un anneau circulaire. (Q578430)

Es sei ein konzentrischer Kreisring \(B\) mit den Radien 1 und \(q(<1)\) gegeben, \(F(z)\) in ihm regulär-analytisch mit den Randwerten des Realteils \(\varPhi_a(z)\), \(\varPhi_i(z)\); von \textit{Villat} rührt die Formel her, die explicite \(F(z)\) aus \(\varPhi_a\), \(\varPhi_i\) zu berechnen gestattet: Wird nämlich \[ q = \exp\left(-\frac{\pi \omega_3}{i\omega_1}\right) \quad (\omega_1, i\omega_3 \quad \text{reell}) \] gesetzt, so ist \[ \begin{multlined} (1) \quad F(z)=\frac{i\omega_1}{\pi^2}\int\limits_0^{2\pi} \varPhi_a(t)\zeta \left(\frac{\omega_1}{i\pi}\log z -\frac{\omega_1} {\pi}t\right)\,dt \\ -\frac{i\omega_1}{\pi^2} \int\limits_0^{2\pi} \varPhi_i(t)\zeta_3 \left(\frac{\omega_1}{i\pi}\log z -\frac{\omega_1}{\pi}t\right)\,dt +c; \end{multlined} \] darin sind \(\zeta\), \(\zeta_3\) die \textit{Weierstraß}schen Funktionen, \(c\) ist eine imaginäre Konstante. Verf. gibt zunächst einen neuen durchsichtigen Beweis dieser Formel, indem er mittels \[ u = \frac{\omega_1}{i\pi}\log z \] den Kreisring auf ein Rechteck mit den Seiten \(2\omega_1\), \(-i\omega_3\) der \(u\)-Ebene abbildet und auf dieses die \textit{Cauchy}sche Integralformel anwendet. Setzt man \(F(z)=f(u)\), so folgt aus der Eindeutigkeit von \(F\) in \(B\): \(f(u+2\omega_1)=f(u)\); es sei \(f_a=\varphi_a + i\psi_a\), \(f_i= \varphi_i+i\psi_i\); dann lautet (1) in der \(u\)-Ebene: \[ f(u)=\frac i\pi \int\limits_0^{2\omega_1} \{\varphi_a(t)\zeta(u-t)\varphi_i(t)\zeta_3(u-t)\}\,dt \;+ \;\text{imaginäre Konstante}. \tag{2} \] Diese Funktion ist aber nur dann regulär und eindeutig im Rechteck, wenn \[ \int\limits_0^{2\omega_1}\{\varphi_a(t)-\varphi_i(t)\}\,dt=0 \tag{3} \] ist. Verf. untersucht nun die Modifikation von (2), wenn \(f(u)\) auf der unteren Rechteckseite \(\langle 0, 2\omega_1 \rangle\) im Punkte \(u_0\) einen einfachen Pol mit dem Residuum \(A = A_1 + iA_2\) besitzt; es tritt dann in (2) rechts der Summand \(iA_2 \cdot \zeta(u-u_0)\) hinzu, während vom Integral der \textit{Cauchy}sche Hauptwert zu nehmen ist. Umgekehrt stellt dann die rechte Seite eine eindeutige analytische Funktion mit den verlangten Eigenschaften dar, wenn die Zusatzbedingung \[ \pi A_2 + \int\limits_0^{2\omega_1}\{\varphi_a(t)-\varphi_i(t)\}\,dt=0 \tag{4} \] von den \(\varphi_a\), \(\varphi_i\) erfüllt wird; letztere können also, im Gegensatz zu (3), willkürlich gewählt werden und bestimmen dann \(A_2\). Nun überträgt Verf. die Formel (2) auf den Fall einer in \(B\) mehrdeutigen Funktion, die die Gleichung \[ f(u+ 2\omega_1)=f(u) + (k_1+ik_2) \] befriedigt. Mittels der gleichen Methode findet er, daß in (2) rechts das Glied \[ \frac {k_1}{\pi i}\log\frac{\sigma_3 u}{\sigma u}-\frac{\eta_3 k_2}{\pi}u \] hinzutreten muß. Umgekehrt berechnen sich die Perioden \(k_1\), \(k_2\) aus den Randwerten mittels der Formeln \[ i\omega_3k_1 = \int\limits_0^{2\omega_1} \{\psi_a(t)-\psi_i(t)\}\,dt, \quad -i\omega_3k_2 = \int\limits_0^{2\omega_1} \{\varphi_a(t)-\varphi_i(t)\}\,dt. \] Besonders verdient der Fall \(k_1 = 0\) hervorgehoben zu werden, in dem die Randwerte \(\varphi_a\), \(\varphi_i\) periodisch sind, aber \(f(u)\) nicht eindeutig ist. Vgl. auch die in JFM 57.0348.* angezeigte Note des Verf. (IV 13.)