Über einige Funktionen, die in gegebenen Intervallen am wenigsten von Null abweichen. (Q578468)

Läßt man bei vorgegebenem \(\lambda\), wo \(0 < \lambda < 1\) bleibt, \(x\) durch die Streckenpaare \(\lambda^2 < x^2 < 1\) laufen, sucht dort den Größtwert des Polynombetrages \[ \operatorname{Max}| x+p_1x^3+ \cdots+p_nx^{2n+1}|= L(\lambda;p_1,\ldots, p_n) \] und bestimmt endlich die Gewichte \(p_1\), \dots, \(p_n\) so, daß der Kleinstwert \[ \operatorname{Min}L(\lambda;p_1, \ldots,p_n)=L(\lambda) \] ausgesondert wird, dann findet man für \(\lambda<\sin \dfrac \pi{4n+2}\) jenen Extremwert \(L=\dfrac 1{2n+1}\), unabhängig von \(\lambda\); das Polynom selbst kann mit Hilfe trigonometrischer Funktionen dargestellt werden. Ganz anders, wenn \(\lambda\) weiter wächst, so daß \(\sin \dfrac \pi{4n+2} < \lambda < 1\) gilt. Dann bleibt \(L\) von \(\lambda\) nicht unabhängig; seine Darstellung wie die der \(p_1\), \dots, \(p_n\) wird geleistet durch elliptische Funktionen. Die verwandte Aufgabe, einige der Koeffizienten, etwa \(p_1\), \dots, \(p_\nu\), festzuhalten und den Kleinstwert \(L^*\) festzustellen, welcher bei Änderung der übrigen Koeffizienten vom Maximalbetrag des Polynomes angenommen werden kann, wird in verschiedenen Beispielen verfolgt. Für \(\nu=2\) treten dann automorphe Funktionen, bei Grenzfällen wieder elliptische und trigonometrische Hilfsfunktionen in der Lösung auf.