Die verallgemeinerten Kugelfunktionen und die Wellenfunktionen eines Elektrons im Felde eines Magnetpoles. (Q578502)

Verf. ermittelt die auf der Einheitskugel überall endlichen Eigenfunktionen der partiellen Differentialgleichung \[ \frac 1{\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta\frac{\partial Y}{\partial \theta} + \frac 1{\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2}+ \frac{in}{1+\cos\theta}\frac{\partial Y}{\partial \varphi} -\frac{n^2}4 \frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}Y+\lambda Y=0, \tag{1} \] welche in der \textit{Dirac}schen Theorie des Elektrons auftritt. \(\varphi\), \(\theta\) bedeuten Polarkoordinaten auf der Einheitskugel. Diese Eigenfunktionen werden V. K. F. (verallgemeinerte Kugelfunktionen) genannt. Für \(n = 0\) geht (1) über in die partielle Differentialgleichung der Kugelflächenfunktionen. Die Eigenfunktionen von (1) haben die Form \[ {}^nY_l^m = e^{im\varphi}z^{\frac 12|m+n|}(2 - z)^{\frac 12|m|} \left(\frac d{dz}\right)^{l+|m|+|m+n|} (z^{l+|m|}(2-z)^{l+|m+n|}) \tag{2} \] mit \(z=1 + \cos \theta\). \(l\), \(m\), \(n\) bedeuten ganze Zahlen. Es wird das Verhalten der partiellen Differentialgleichung (1) und der V. K. F. bei Drehungen der Kugel studiert, und die Eigenfunktionen werden normiert. Ref. bemerkt, daß das in (2) auftretende Polynom ein \textit{Jacobi}sches (hypergeometrisches) Polynom ist. (VII 3.)