Note sur la théorie du noyau symétrique. (Q578522)

Beweis des Satzes, daß die zu einem beschränkten symmetrischen Kern \(K(x, y)\) mit den Eigenwerten \(\lambda_k\) und den Eigenfunktionen \(\varphi_k(x)\) gehörende Reihe \[ \sum_1^\infty \frac{\varphi_k(x)\varphi_k(y)}{\lambda_k} \tag{1} \] im ganzen Gebiet \(a\leqq x\), \(y \leqq b\) mit Ausnahme höchstens einer Menge vom Maße Null \((C,1)\)-summierbar ist und daß die Summe gleichmäßig gegen \(K(x,y)\) konvergiert, sowie des Satzes, daß die Reihe (1) gleichmäßig im Gebiet \(a\leqq x\), \(y \leqq b\) mit Ausnahme höchstens einer Menge vom Maße Null konvergiert, wenn der Quotient \(\dfrac{\varphi_k^2(x)}{\lambda_k}\) weniger wächst als \(k^{-1-\varepsilon}\) (\(\varepsilon > \frac 12\)).