Differential equations in the spectral parameter (Q579489)

Sei \(L:=\sum^{1}_{j=0}L_ j(x)(\partial /\partial x)^ j\) ein linearer gewöhnlicher Differentialoperator mit Eigenfunktionen \(\phi (x,\lambda):(L\phi)(x,\lambda)=\lambda \phi (x,\lambda)\). Die \(\phi\) (x,\(\lambda)\) seien glatte Funktionen des Parameters \(\lambda\). - Die Autoren untersuchen folgende Frage: Für welche \(L\) gibt es eine nichtleere Familie von Eigenfunktionen \(\phi\), die gleichzeitig Eigenfunktionen eines linearen gewöhnlichen Differentialoperators \(A:=\sum^{m}_{r=0}A_ r(\lambda)(\partial /\partial \lambda)^ r,\) \((A\phi)(x,\lambda)=\theta (x)\cdot \phi (x,\lambda)\) für einen Eigenwert \(\theta\) ist, der eine Funktion von \(x\) ist? In der vorliegenden Arbeit wird diese Frage behandelt für den Standard- Schrödingeroperator \(L:=-(\partial /\partial x)^ 2+V(x).\) Die Autoren bestimmen alle Potentiale \(V\) für die Gleichung \((-\partial^ 2_ x+V(x))\phi =k^ 2\phi\) derart, daß eine Familie von Eigenfunktionen \(\phi\) eine Differentialgleichung im Spektralparameter \(k\) erfüllt von der Form \(B(k,\partial_ k)\phi =\theta (x)\phi\). Für jedes solche \(V\) werden die Algebra aller möglichen Operatoren \(B\) und die zugehörigen Funktionen \(\theta\) bestimmt. Die Beschreibung der in Frage kommenden Potentiale \(V\) ist sehr übersichtlich. Die Charakterisierung der zugehörigen Algebra von Operaten \(B\) ist wesentlich aufwendiger. Es werden instruktive Beispiele diskutiert. Dabei ist die explizite Berechnung der Potentiale \(V\) schon sehr mühsam, die Berechnung der Operatoren \(B\) führt, falls überhaupt die allgemeine Form explizit angegeben werden kann, schnell zu uferlosen Formeln, die nur noch mit größeren Rechenanlagen zu bewältigen sind.