Invariant factor theorem for Prüfer domains of finite character (Q580438)

Es sei R ein Prüferring von endlichem Charakter, d.h. jedes von Null verschiedene Element ist nur in endlich vielen maximalen Idealen enthalten. Der folgende Satz (``invariant factor theorem'') ist das zentrale Ergebnis: Sind \(M\supseteq N\) endlich erzeugte R-Moduln derart, daß M/N ein Torsionsmodul ist, dann besitzen M, N kompatible Zerlegungen: \(M=M_ 1\oplus...\oplus M_ n,\quad N=E_ 1M_ 1\oplus...\oplus E_ nM_ n.\) Hierbei ist n der Rang von M; jeder Summand \(M_ i\) ist projektiv vom Rang 1, jedes \(E_ i\) ist ein endlich erzeugtes Ideal von R. Überdies können die Ideale \(E_ i\) so gewählt werden, daß gilt: \(M/N\cong \oplus_{i}R/E_ i,\quad E_ i\subseteq E_{i+1}\). Die so gewählten Ideale \(E_ i\), invariante Faktoren genannt, kennzeichnen die Isomorphieklasse von M/N. Eine Anwendung dieses Satzes: (Die Elemente des \(R^ n\) werden als \(1\times n\) Matrizen geschrieben.) Sei \(A=(a_{ij})\) eine \(m\times n\) Matrix über R mit der Eigenschaft, daß das von den Elementen \(\{a_{ij}\}\) erzeugte Ideal der Ring R ist. Dann enthält der R- Untermodul \(R^ mA\) von \(R^ n\) einen direkten Summanden von \(R^ n\), welcher projektiv vom Rang 1 ist.