A coupled system of linear homogeneous differential equations with variable coefficients and its applications (Q580580)

In der Theorie partieller Differentialgleichungen und in vielen Anwendungen ist es von großem Interesse, auch gekoppelte Differentialgleichungssysteme zu betrachten. Es wird in dieser Arbeit das folgende RWP zweier gekoppelter partieller Differentialgleichungen, \[ [\nabla^ 2(A(x)\nabla^ 2)+\{\nabla \cdot (B(x)\nabla)\}+C(x)]U(x)=r\Delta [F(x)\psi (x)], \] \[ [\{\nabla \cdot (E(x)\nabla)\}-q(x)]\psi (x)=-F^{-tr}(x)\Delta (U(x))\quad in\quad V, \] \[ U=0=A \nabla^ 2U=\partial \psi /\partial n\quad oder\quad U=0=A \nabla U=\psi \quad oder\quad U=0=A=\partial U/\partial n=\psi, \] unter Anwendung geeigneter Voraussetzungen an die Koeffizienten studiert. V ist ein einfach zusammenhängendes Gebiet im \({\mathbb{R}}^ n\), \(x\in V\). Außerdem bezeichnen U(x) und \(\psi\) (x) die \(n\times 1\) Vektoren mit über V definierte komplexwertige Funktionen als Komponente. Ferner wird mit \(\Delta\) der Operator bezeichnet, der z.B. angewandt auf U den \(n\times 1\) Vektor \((\partial U_ i/\partial x_ i)\) ergibt. Ziel dieser Arbeit ist der Beweis einer notwendigen Bedingung für die Existenz der nichtrivialen Lösung des Systems in Form einer Integraldarstellung. Ergänzende Ergebnisse und Konsequenzen wie Stabilitätsprobleme, die auf mathematische und physikalische Probleme (beispielsweise der Hydrodynamik und Hydromagnetik) Anwendung finden, werden als ``Notizen'' hervorgehoben, welche sich aus der geeigneten Wahl von Koeffizienten ergeben. In gewisser Weise stellt die Arbeit eine Verallgemeinerung der früheren Ergebnisse in dieser Richtung dar.