Über Basen nulldimensionaler Polynomideale. (On bases of zero dimensional polynomial ideals) (Q581467)

In dieser Arbeit werden Basen nulldimensionaler Ideale in \(K[x]\) eingehender untersucht, wobei \(K\) algebraisch abgeschlossener Körper mit \(char(K)=0\) und \(x=(x_ 1,...,x_ n)\) ist. Zunächst wird für den Spezialfall nulldimensionaler Radikale ein Konstruktionsverfahren für eine Basis der Länge \(n+1\) und der minimal möglichen Länge n angegeben. Für die weiteren Untersuchungen wird der Begriff der H-Basis herangezogen, das ist eine solche Basis \(f_ 1,...,f_ s\) bezüglich der jedes Polynom f des Ideals eine Darstellung \(f=\sum a_ if_ i\) \((a_ i\in K[x])\) mit \(\deg (a_ if_ i)\leq \deg (f)\) hat. Es gilt nun stets, daß die Elemente einer derartigen H-Basis keine gemeinsame uneigentliche Nullstelle besitzen (homogenisiert betrachtet), wobei im Fall \(s=n\) auch die Umkehrung beweisbar ist. Ergänzend wird am Beispiel der Radikale vom Lagrangeschen Typ gezeigt, daß die minimale Länge von H-Basen beliebig groß sein kann. Schließlich werden noch Abschätzungen für die Regularitätsgrenze nulldimensionaler Ideale angegeben, wobei zunächst der allgemeine Fall betrachtet wird und dann auf solche Ideale eingegangen wird, die eine H-Basis der minimalen Länge n besitzen. Hier ergeben sich etwas bessere Schranken.