Foundations of queueing theory (Q5891138)

Das ist seit langem wieder einmal ein deutschsprachiges Buch über Warteschlangen- oder Bedienungstheorie -- und dann ein Buch dieses Umfangs und Anspruchs! Dabei sollte man den Titel genau lesen: Das ist kein Buch über Warteschlangentheorie, sondern eins über die \textit{Grundlagen} der Warteschlangentheorie. So bietet Kapitel 1 eine Einführung in die Maßtheorie (90 Seiten), Kapitel 2 behandelt Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie (85 Seiten), Kapitel 3 Grundlagen der Theorie der stochastischen Prozesse (84 Seiten) und Kapitel 4 die Theorie Markowscher Prozesse (99 Seiten). Es gibt zwei Anhänge, von denen einer mengentheoretische Topologie behandelt und der andere die Grundlagen der Theorie des Riemann-Integrals. So bleiben für die eigentliche Warteschlangentheorie nur 154 Seiten. Dabei will das Buch ein echtes Mathematik-Buch sein: Alles wird bewiesen, selbst der Satz von Radon-Nikodým und die Sätze der Topologie. Und die Bedienungsmodelle werden äußerst gründlich mathematisch analysiert. Die eigentliche Warteschlangentheorie wird folgendermaßen behandelt. Zuerst werden die verschiedenen Modelltypen behandelt. Dann folgen drei ``Basisaussagen'': der Satz von Little, die PASTA-Eigenschaft und das ``Paradoxon der Restlebensdauer''. Das wird alles ohne Punktprozesse gemacht, was zum Stil des Buchs passt, aber vielleicht die Darstellung kompliziert. Danach folgen ``Markov'sche Modelle'', also die wichtigsten Modelle des Typs \(\mathrm{M}/\mathrm{M}/\cdot\). Hier werden die Fakten aus Kapitel 4 konsequent ausgenutzt. Es folgen die Modelle \(\mathrm{M}/\mathrm{GI}/1\) und \(\mathrm{GI}/\mathrm{M}/1\), die, wie üblich, mit Hilfe eingebetteter Markowscher Ketten angegangen und dann weiter mit semi-Markowschen Prozessen behandelt werden. Danach werden die Phasenmethode sowie die Anwendung Markow-additiver Prozesse besprochen, die es gestatten, den \(\mathrm{M}/\mathrm{M}/\cdot\)\,-Bereich zu verlassen. Danach folgt ein leider nicht sehr verständlich geschriebenes Kapitel über räumliche Modelle, während das folgende Kapitel über Warteschlangennetzwerke angenehm zu lesen ist. Es gibt also nichts über die umfangreiche Theorie des Warteschlangenmodells \(\mathrm{GI}/\mathrm{GI}/1\) [\textit{J. W. Cohen}, The single server queue. Amsterdam - New York - Oxford: North-Holland Publishing Company (1982; Zbl 0481.60003)], die Methode der Zusatzvariablen und Heavy-Traffic-Appro\-xi\-mationen, um einige Punkte zu nennen, die sonst in Büchern über Warteschlangentheorie behandelt werden. Leider gibt das sehr gut gestaltete und organisierte Buch Anlass zur Kritik. Rez.~glaubt zu bemerken, dass kein Lektor das Buch durchgearbeitet hat. So gibt es zahlreiche fachliche Flüchtigkeiten, die vom Leser einige Aufmerksamkeit und mathematisches Verständnis verlangen. Ein typisches Beispiel ist die Definition der Ankunftsrate. Man liest: ``die \textit{mittlere Ankunftsrate} \(\lambda\), d.\,h. die Anzahl der Ankünfte pro Zeiteinheit''. Da ist das Wort ``mittlere'' an die falsche Stelle gerutscht. Die Symbolik befremdet den Rez.\ teilweise. So werden das Lebesgue-Maß und die Intensität mit dem gleichen Symbol \(\lambda\) bezeichnet. Mittelwerte werden durch ein ``Dach'' gekennzeichnet, nicht wie üblich durch einen ``Querstrich''. So heißt also die mittlere Bedienungszeit \(\hat{B}\) und nicht \(\overline{B}\). Dieses ``Dach'' hat natürlich nichts mit statistischen Schätzungen zu tun. (In der mathematischen Statistik bezeichnet ein Dach über einem Symbol einen zugehörigen statistischen Schätzer.) Und leider wird die deutsche Sprache nicht hundertprozentig einwandfrei benutzt. Anglizismen kommen häufig vor, wobei Formulierunen wie ``exponentiell verteilt'' statt ``exponentialverteilt'', ``kontinuierliche Zufallsvariable'' statt ``stetige Zufallsgröße'', ``Konditionen für die Ergodizität'' statt ``Bedingungen für die Ergodizität'' weh tun. Natürlich muss ein deutschsprachiges Lehrbuch der Warteschlangentheorie nicht die Leistungen deutscher Forscher besonders würdigen. Aber es befremdet doch, wenn das Buch solche Themen wie die Unempfindlichkeit [\textit{D. König} et al., Verallgemeinerungen der Erlangschen und Engsetschen Formeln. Eine Methode in der Bedienungstheorie. Berlin: Akademie-Verlag (1967; Zbl 0189.17801); \textit{R. Schassberger}, Adv. Appl. Probab. 10, 906--912 (1978; Zbl 0396.60087)], die Anwendung der Theorie der Punktprozesse [\textit{P. Franken} et al., Queues and point processes. Chichester etc.: John Wiley \& Sons (1982; Zbl 0505.60058); \textit{A. Brandt} et al., Stationary stochastic models. Berlin: Akademie Verlag (1990; Zbl 0723.60112)] und die Gewinnung von Abschät\-zungen [\textit{A. Müller} und \textit{D. Stoyan}, Comparison methods for stochastic models and risks. Chichester: Wiley (2002; Zbl 0999.60002)] für komplizierte Systeme völlig verschweigt. Das Buch dürfte wertvoll für Studenten der Mathematik sein, die sich auf dem Gebiet der stochastischen Modellierung spezialisieren wollen -- da haben sie \textit{ein} Buch für weite Teile ihres Fachstudiums.