Zur Theorie der diophantischen Approximationen. (Q5892824)

\(E(\vartheta _1,\ldots,\vartheta _s)\) bezeichne die obere Grenze der reellen Zahlen \(\alpha \), für die es zu jedem \(A > 0\;s + 1\) ganzrationale Zahlen \(p_1,\ldots,p_s,q\) gibt mit \(q > A,\;\Big |\vartheta _i - \frac {p_i}{q}\Big | < \frac {1}{q^\alpha }\quad (i=1,\ldots,s)\). Bekanntlich ist \(\frac {s+1}{s} <E(\vartheta _1,\ldots,\vartheta _s)\leqq \infty \). Verf. stellt für \(s = 2\) fest, wie weit sich diese Aussage verschärfen läßt, wenn \(E(\vartheta _1) =\alpha _1, E(\vartheta _2) =\alpha _2\) bekannt sind: Satz 1: \[ \max \left (\frac {3}{2}, \frac {2\alpha _1}{\alpha _1 + 1}, \frac {2\alpha _2}{\alpha _2 + 1} \right )\leqq E(\vartheta _1,\vartheta _2)\leqq \min (\alpha _1, \alpha _2) \] und zeigt, daß diese Schranken nicht verbessert werden können: Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei \(2 \leqq \alpha _2 \leqq \alpha _1 \leqq \infty \); für beliebige solche \(\alpha _1, \alpha _2\) gibt es ein ``eigentliches'' Zahlenpaar \(\vartheta _1, \vartheta _2\) (d. h. \(\vartheta _1, \vartheta _2\) rational linear unabhängig) mit \[ E(\vartheta _1, \vartheta _2)=\max \left (\frac {3}{2}, \frac {2\alpha _1}{\alpha _1 + 1}\right ) = \alpha \] (Satz 2) und eines mit \(E(\vartheta _1, \vartheta _2) = \alpha _2\) (Satz 3). Satz 1 folgt leicht nach dem Schubfachprinzip. Bei Satz 2 wird unterschieden: \[ \text{2a: }2\leqq \alpha _2\leqq \alpha _1=\infty ; \quad \text{2b: }2=\alpha _2\leqq \alpha _1<\infty ; \quad \text{2c: }2<\alpha _2\leqq \alpha _1<\infty. \] 2a wird durch Angabe geeigneter \(\vartheta _1, \vartheta _2\) leicht erledigt. 2b zeigt den Grundgedanken des schwierigeren Falls 2c (den Kern der Arbeit) in vereinfachter Form. Dieser Grundgedanke ist: \(\vartheta _1\) wird mit \(E(\vartheta _1) = \alpha _1\), fest gewählt. Für die ``ausgezeichneten'' Zahlen \(q > Q\) mit \(\Big |\vartheta _1-\frac {p_0}{q}\Big |<\frac {1}{q^\alpha },\;\alpha =\max \left (\frac {3}{2},\;\frac {2\alpha _1}{\alpha _1 + 1}\right )\), werden dann die Intervalle \(B(p,q) = \left (\frac {p}{q} - \frac {1}{q^\alpha \log ^2q}, \frac {p}{q} + \frac {1}{q^\alpha \log ^2q}\right )\), für \(n > Q,\;0 \leqq m \leqq n\) die Intervalle \(A(m,n) = \left (\frac {m}{n} - \frac {1}{n^2\log ^2n}, \frac {m}{n} + \frac {1}{n^2\log ^2n} \right )\) betrachtet. Für genügend großes \(Q\) liegt die Längensumme der Intervalle \(A\) sowie der \(B\) unter \(\frac {1}{2}\); es existieren somit Zahlen \(\vartheta _2,\;0\leqq \vartheta _2 \leqq 1\), die keinem der Intervalle \(B\) angehören (d. h. \(E(\vartheta _1, \vartheta _2) = \alpha \)) und keinem der \(A\) (d. h. \(E(\vartheta _2)=2\)). In dem viel komplizierteren Beweis zu 2c wird die entsprechende Existenz aus dem \textit{Borel}schen Überdeckungssatz geschlossen. Satz 3 wird durch Konstruktion geeigneter \(\vartheta _1,\vartheta _2\) bewiesen.